Esercizio Spazi vettoriali, polinomi e matrici
Ciao a tutti! Questo esercizio che vi propongo faceva parte dell'esame scritto di geometria, e a suo tempo non sono riuscita a venirne a capo. 0 idee! Ora, siccome probabilmente mi chiederà di risolverlo all'orale, ho bisogno del vostro aiuto.
Sia $V = ℝ_2[t]$ lo spazio vettoriale dei polinomi reali t di grado minore o uguale di 2, sia $p= 3-t+2t^2$ e sia $B = {1+t,1-t,1+t^2}$ una base di $V$. Sia $W$ lo spazio vettoriale delle matrici reali 2x2, sia
$B'={((1,1),(0,0)) , ((1,0),(0,0)) , ((1,0),(1,0)) , ((0,0),(0,1))}$
una sua base e sia $f: V \to W$ l'applicazione lineare definita da
$f: (a +bt +ct^2) =((a-b,b+c),(a+c,2a+c))$
-Calcolare $f_(p)$
-Scrivere quali sono le basi canoniche di $V$ e $W$ e determinare la matrice $A$ associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche di $V,W$
-Determinare la matrice A associata as $f$ rispetto alle basi $B$ nel dominio e $B'$ nel codominio.
Vi ringrazio in anticipo!
Sia $V = ℝ_2[t]$ lo spazio vettoriale dei polinomi reali t di grado minore o uguale di 2, sia $p= 3-t+2t^2$ e sia $B = {1+t,1-t,1+t^2}$ una base di $V$. Sia $W$ lo spazio vettoriale delle matrici reali 2x2, sia
$B'={((1,1),(0,0)) , ((1,0),(0,0)) , ((1,0),(1,0)) , ((0,0),(0,1))}$
una sua base e sia $f: V \to W$ l'applicazione lineare definita da
$f: (a +bt +ct^2) =((a-b,b+c),(a+c,2a+c))$
-Calcolare $f_(p)$
-Scrivere quali sono le basi canoniche di $V$ e $W$ e determinare la matrice $A$ associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche di $V,W$
-Determinare la matrice A associata as $f$ rispetto alle basi $B$ nel dominio e $B'$ nel codominio.
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Il primo punto è immediato se con $f_p$ intendi l'immagine di $p$ attraverso $f$. Basta calcolare $f(3-t+2t^2)$ riconoscendo quali sono $a$, $b$ e $c$ nel tuo caso.
Per il secondo punto, intanto scrivi le basi canoniche. Dopodiché basta ricordare come si scrive una matrice associata. Provaci e scrivi dove trovi difficoltà.
Per il secondo punto, intanto scrivi le basi canoniche. Dopodiché basta ricordare come si scrive una matrice associata. Provaci e scrivi dove trovi difficoltà.
Cioè, per il primo punto devo considerare come $a=3, b=-1, c=2$ ?
?
Esattamente!
Allora, per il primo punto tutto perfetto... per il secondo no però! 
Ho scritto le basi canoniche... Ma adesso sinceramente non so come scrivere la matrice associata.
Se $F:V\rightarrow V$ e $B=\{e_1,\ldots,e_n}$ è una base di $V$, allora la matrice che rappresenta $F$ è la matrice $A=[a_{ij}]^T$ dove
$$F(e_i)=\sum_{j=1}^n a_{ij} e_j=a_{i1} e_1+ a_{i2} e_2+\ldots+a_{in} e_n$$
Ora ci riesci?
$$F(e_i)=\sum_{j=1}^n a_{ij} e_j=a_{i1} e_1+ a_{i2} e_2+\ldots+a_{in} e_n$$
Ora ci riesci?
In generale so come si calcola, ma in questo caso non capisco quali valori di riferimento prendere a(ij)... Vi ringrazio ancora per la disponibilità...
Allora, le basi canoniche dei due spazi sono le seguenti:
$$C=\{1, t,t^2\},\qquad C'=\left\{\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\}$$
Indico quelle matrici con $E_{11},\ E_{12},\ E_{21},\ E_{22}$, per cui
$$f(1)=f(1+0t+0t^2)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 2\end{array}\right)=E_{11}+E_{21}+2E_{22}\\ f(t)=f(0+1\cdot t+0 t^2)=\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ 0 & 0\end{array}\right)=-E_{11}+E_{12}\\ f(t^2)=f(0+0 t+1\cdot t^2)=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1\end{array}\right)=E_{12}+E_{21}+E_{22}$$
Pertanto
$$F=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \\ 2 &0 & 1
\end{array}\right)$$
$$C=\{1, t,t^2\},\qquad C'=\left\{\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\}$$
Indico quelle matrici con $E_{11},\ E_{12},\ E_{21},\ E_{22}$, per cui
$$f(1)=f(1+0t+0t^2)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 2\end{array}\right)=E_{11}+E_{21}+2E_{22}\\ f(t)=f(0+1\cdot t+0 t^2)=\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ 0 & 0\end{array}\right)=-E_{11}+E_{12}\\ f(t^2)=f(0+0 t+1\cdot t^2)=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1\end{array}\right)=E_{12}+E_{21}+E_{22}$$
Pertanto
$$F=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \\ 2 &0 & 1
\end{array}\right)$$
Aaaaah ora ho capito! Per il terzo punto vale lo stesso discorso?
Sì... e no. Nel senso, io userei le matrici di cambiamento di base per fare prima. Sai come fare?
Tramite la formula ho provato a farlo con il cambiamento di base... Ma non mi viene
Domani ho l'orale.. Ti chiedo l'ultimo aiutino
Oddio, scusa ma ieri poi ho avuto da fare. Da quello che capisco, probabilmente non ti serve più, o sbaglio?
Ho ancora mezz'ora prima dell'esame se ce la fai 
Allora vediamo: è abbastanza immediato dimostrare che le matrici di cambiamento di base sono le seguenti
$$M_{CB}=[a_{ij}]=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 1
\end{array}\right),\qquad M_{C'B'}=[b_{\alpha\beta}]\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)$$
Da questo si conclude che la nuova matrice è
$$(F')^T=M_{CB}^{-1}\cdot F^T\cdot M_{C'B'}$$
ovvero
$$F'=\left[M_{CB}^{-1}\cdot F^T\cdot M_{C'B'}\right]^T=M_{C'B'}^T\cdot F\cdot (M_{CB}^{-1})^T$$
$$M_{CB}=[a_{ij}]=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 1
\end{array}\right),\qquad M_{C'B'}=[b_{\alpha\beta}]\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)$$
Da questo si conclude che la nuova matrice è
$$(F')^T=M_{CB}^{-1}\cdot F^T\cdot M_{C'B'}$$
ovvero
$$F'=\left[M_{CB}^{-1}\cdot F^T\cdot M_{C'B'}\right]^T=M_{C'B'}^T\cdot F\cdot (M_{CB}^{-1})^T$$
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