Esercizio spazi vettoriali e applicazioni
Ciao ragazzi! Sono ancora qui! 
Ho questo quesito da discutere con voi, vado al dunque:
Ho due sottospazi di $\mathbb{R}^4$:
$U=<(-1,1,1,0),(0,-1,0,1)>$
$V=<(1,2,-1,-2),(0,1,0,-1),(1,0,-1,0)>$
il punto a dell'esercizio chiede di calcolare dimensione e base di: $U,\ V , \ U+V, \ U\capV$:
ometto i calcoli e trovo:
$dim(U)=2$ con $\mathfrak{B}(U)=<(-1,1,1,0),(0,-1,0,1)>$
$dim(V)=2$ con $\mathfrak{B}(V)=<(1,2,-1,-2),(0,1,0,-1)>$
$dim(U+V)=3$ con $\mathfrak{B}(U+V)=<(-1,1,1,0),(0,-1,0,1),(1,2,-1,-2)>$
$dim(U\capV)=1$ con $\mathfrak{B}(U\capV)=<(0,-1,0,1)>$
E fin qui tutto ok...
A questo punto l'esercizio mi chiede:
stabilire se esiste un'applicazione lineare A da $\mathbb{R}^4$ a $\mathbb{R}^4$ con nucleo $U$ e immagine $U\capV$ e in caso affermativo se ne dia un esempio con relativa matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio;
Il mio ragionamento è:
parto dall'immagine $U\capV$ ed essendo $dim(U\capV)=1$ ho solo un vettore $\mathfrak{B}(U\capV)=<(0,-1,0,1)>$ che posso mettere nell'immagine, gli altri vettori dovrebbero essere dipendenti dal nucleo che deve essere $U$...ma non so come procedere...la mia idea è questa:
devo trovare la matrice associata ad $A$ avente $ker(A)=U$
scrivo le equazioni $(U\capV)=U$ denotando le coordinate con $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ dove
a = (0,-1,0,1) b=(-1,1,1,0) c=(0,-1,0,1) e d=(0,0,0,0)
quindi:
${ ( 0=-b ),( -a=b-c ),( 0=b ), (a=c):}$
spostando i vettori di destra a sinistra, e risolvendo il sistema omogeneo dovrei trovare U:
$[(0,1,0,0,|0),(-1,-1,1,0,|0),(0,-1,0,0,|0),(1,0,-1,0,|0)]$
trovo subito che il rango è 2 quindi il sistema ha $\infty^2$ soluzioni che dovrebbero essere il mio bel spazio vettoriale $U$ ma ciò non accade, in quanto secondo i miei calcoli trovo che $ker(A)=<(1,0,1,0),(0,0,0,1)>$...che dovrebbero appartenere comunque a $U$, ma non è così...
Help me!
Ho questo quesito da discutere con voi, vado al dunque:
Ho due sottospazi di $\mathbb{R}^4$:
$U=<(-1,1,1,0),(0,-1,0,1)>$
$V=<(1,2,-1,-2),(0,1,0,-1),(1,0,-1,0)>$
il punto a dell'esercizio chiede di calcolare dimensione e base di: $U,\ V , \ U+V, \ U\capV$:
ometto i calcoli e trovo:
$dim(U)=2$ con $\mathfrak{B}(U)=<(-1,1,1,0),(0,-1,0,1)>$
$dim(V)=2$ con $\mathfrak{B}(V)=<(1,2,-1,-2),(0,1,0,-1)>$
$dim(U+V)=3$ con $\mathfrak{B}(U+V)=<(-1,1,1,0),(0,-1,0,1),(1,2,-1,-2)>$
$dim(U\capV)=1$ con $\mathfrak{B}(U\capV)=<(0,-1,0,1)>$
E fin qui tutto ok...
A questo punto l'esercizio mi chiede:
stabilire se esiste un'applicazione lineare A da $\mathbb{R}^4$ a $\mathbb{R}^4$ con nucleo $U$ e immagine $U\capV$ e in caso affermativo se ne dia un esempio con relativa matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio;
Il mio ragionamento è:
parto dall'immagine $U\capV$ ed essendo $dim(U\capV)=1$ ho solo un vettore $\mathfrak{B}(U\capV)=<(0,-1,0,1)>$ che posso mettere nell'immagine, gli altri vettori dovrebbero essere dipendenti dal nucleo che deve essere $U$...ma non so come procedere...la mia idea è questa:
devo trovare la matrice associata ad $A$ avente $ker(A)=U$
scrivo le equazioni $(U\capV)=U$ denotando le coordinate con $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ dove
a = (0,-1,0,1) b=(-1,1,1,0) c=(0,-1,0,1) e d=(0,0,0,0)
quindi:
${ ( 0=-b ),( -a=b-c ),( 0=b ), (a=c):}$
spostando i vettori di destra a sinistra, e risolvendo il sistema omogeneo dovrei trovare U:
$[(0,1,0,0,|0),(-1,-1,1,0,|0),(0,-1,0,0,|0),(1,0,-1,0,|0)]$
trovo subito che il rango è 2 quindi il sistema ha $\infty^2$ soluzioni che dovrebbero essere il mio bel spazio vettoriale $U$ ma ciò non accade, in quanto secondo i miei calcoli trovo che $ker(A)=<(1,0,1,0),(0,0,0,1)>$...che dovrebbero appartenere comunque a $U$, ma non è così...
Help me!
Risposte
sia f un'applicazione lineare definita da uno spazio vettoriale E di dimensione finita in uno spazio vettoriale F
teorema del rango: $dim E=dimkerf(f)+rg(f)$
nel tuo esericizio.
se esistesse un endomorfismo di $RR^4$ dim nucleo U e immagine $UnnV$
avremmo col teorema del rango $dim(RR^4)=dimkerf(f)+rg(f)=dimU+dim(UnnV)$
sappiamo che $dimRR^4=4$ e dopo i calcoli che hai fatto abbiamo $ dimU=2$ e $dim(UnnV)=1$
quindi 4=3 impossibile. tale applicazione non esiste
teorema del rango: $dim E=dimkerf(f)+rg(f)$
nel tuo esericizio.
se esistesse un endomorfismo di $RR^4$ dim nucleo U e immagine $UnnV$
avremmo col teorema del rango $dim(RR^4)=dimkerf(f)+rg(f)=dimU+dim(UnnV)$
sappiamo che $dimRR^4=4$ e dopo i calcoli che hai fatto abbiamo $ dimU=2$ e $dim(UnnV)=1$
quindi 4=3 impossibile. tale applicazione non esiste
Sei stato più che chiaro...ecco perchè i miei calcoli non portavano a nessun risultato...
ti pongo allora il caso in cui il teorema della dimensione è soddisfatto:
Il punto seguente dell'esercizio chiede:
stabilire se esiste un'applicazione lineare B da R4 a R4 con nucleo U e immagine U e in caso affermativo se ne dia un esempio con relativa matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio;
in quel caso se procedo come ho spiegato prima (è un ragionamento contorto, ma dimmi se non ti è chiaro):
la matrice associata all'endomorfismo è:
$B=[(-1,0,1,0),(1,-1,-1,1),(1,0,-1,0),(0,1,0,-1)]$
e risolvendo il sistema omogeneo non trovo $U$ ma altri vettori indipendenti:
$ker(B)=<(1,0,1,0),(0,1,0,1)>$ che da quello che ho capito, sono un'altra base di U...
Ora mi chiedo (se ciò che ho fatto è giusto) come posso esprimere l'applicazione con una matrice rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio?
ti pongo allora il caso in cui il teorema della dimensione è soddisfatto:
Il punto seguente dell'esercizio chiede:
stabilire se esiste un'applicazione lineare B da R4 a R4 con nucleo U e immagine U e in caso affermativo se ne dia un esempio con relativa matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio;
in quel caso se procedo come ho spiegato prima (è un ragionamento contorto, ma dimmi se non ti è chiaro):
la matrice associata all'endomorfismo è:
$B=[(-1,0,1,0),(1,-1,-1,1),(1,0,-1,0),(0,1,0,-1)]$
e risolvendo il sistema omogeneo non trovo $U$ ma altri vettori indipendenti:
$ker(B)=<(1,0,1,0),(0,1,0,1)>$ che da quello che ho capito, sono un'altra base di U...
Ora mi chiedo (se ciò che ho fatto è giusto) come posso esprimere l'applicazione con una matrice rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio?
sia $e_2,e_2,e_3,e_4$ la base canonica di $RR^4$
per ogni i $f(e_i)$ appartiene all'immagine di f quindi $U$
quindi per ogni i $f(e_i)=\alpha_iu_1+\beta_iu_2$ con $u_1=(-1,1,1,0)$ e $u_2=(0,-1,0,1)$
quindi la matrice sarà di questo tipo
A=$((-\alpha_1,-\alpha_2,-\alpha_3,-\alpha_4),(\alpha_1-\beta_1,\alpha_2-\beta_2,\alpha_3-\beta_3,\alpha_4-\beta_4),(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4),(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4))$
ma $u_1$ e $u_2$ appartengono a $U$ quindi al $kerA$
quindi $Au_1'$=0 e $Au_2'$=0 (' vuole dire la trasposta)
quindi si ottiene il sistema seguente
$\alpha_1=\alpha_2+\alpha_3$ e $\alpha_2=\alpha_4$
$\beta_1=\beta_2+\beta_3$ e $\beta_2=\beta_4$
scelgo $\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=1$ quindi $\alpha_1=2$
poi scelgo $\beta_2=0$ e $\beta_3=1$ quindi $\beta_1=1$ e $\beta_4=0$
quindi la matrice A di una applicazione lineare di nucleo $U$ e di immagine $U$ è
A=$((-2,-1,-1,-1),(1,1,0,1),(2,1,1,1),(1,0,1,0))$
per ogni i $f(e_i)$ appartiene all'immagine di f quindi $U$
quindi per ogni i $f(e_i)=\alpha_iu_1+\beta_iu_2$ con $u_1=(-1,1,1,0)$ e $u_2=(0,-1,0,1)$
quindi la matrice sarà di questo tipo
A=$((-\alpha_1,-\alpha_2,-\alpha_3,-\alpha_4),(\alpha_1-\beta_1,\alpha_2-\beta_2,\alpha_3-\beta_3,\alpha_4-\beta_4),(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4),(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4))$
ma $u_1$ e $u_2$ appartengono a $U$ quindi al $kerA$
quindi $Au_1'$=0 e $Au_2'$=0 (' vuole dire la trasposta)
quindi si ottiene il sistema seguente
$\alpha_1=\alpha_2+\alpha_3$ e $\alpha_2=\alpha_4$
$\beta_1=\beta_2+\beta_3$ e $\beta_2=\beta_4$
scelgo $\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=1$ quindi $\alpha_1=2$
poi scelgo $\beta_2=0$ e $\beta_3=1$ quindi $\beta_1=1$ e $\beta_4=0$
quindi la matrice A di una applicazione lineare di nucleo $U$ e di immagine $U$ è
A=$((-2,-1,-1,-1),(1,1,0,1),(2,1,1,1),(1,0,1,0))$
Ciao Kamal, grazie veramente per lo svolgimento...
Non capisco la parte iniziale dove dici: $f(e_i)=\alpha_iu_1+\beta_iu_2$
Forse non capisco il nesso tra lo spazio vettoriale $U$ e l'immagine dell'applicazione...
Hai qualche altro suggerimento?
Non capisco la parte iniziale dove dici: $f(e_i)=\alpha_iu_1+\beta_iu_2$
"kamal":
sia $e_2,e_2,e_3,e_4$ la base canonica di $RR^4$
per ogni i $f(e_i)$ appartiene all'immagine di f quindi $U$
quindi per ogni i $f(e_i)=\alpha_iu_1+\beta_iu_2$ con $u_1=(-1,1,1,0)$ e $u_2=(0,-1,0,1)$
quindi la matrice sarà di questo tipo...
Forse non capisco il nesso tra lo spazio vettoriale $U$ e l'immagine dell'applicazione...
Hai qualche altro suggerimento?
sia f un'applicazione lineare di E in F
ecco la definizione dell'immagine $Imf={f(x)$ dove $x in E}$
quindi, $f(e_1), f(e_2), f(e_3), f(e_4)$ appartengono all'immagine di f che è $U$
Siccome $u_1,u_2$ è base di U quindi ogni $f(e_i)$ è combinazion lineare di $u_1$ e $u_2$ (è la definizione di una base)
ecco la definizione dell'immagine $Imf={f(x)$ dove $x in E}$
quindi, $f(e_1), f(e_2), f(e_3), f(e_4)$ appartengono all'immagine di f che è $U$
Siccome $u_1,u_2$ è base di U quindi ogni $f(e_i)$ è combinazion lineare di $u_1$ e $u_2$ (è la definizione di una base)
Ok ora mi è chiara la cosa...
Volendo trovare già nell'immagine i vettori $u_1$ e $u_2$ ho effettuato questo procedimento:
$f(e_1)=(-1,1,1,0)$
$f(e_2)=(0,-1,0,1)$
$f(e_3)=(a,b,c,d)$
$f(e_4)=(e,f,g,h)$
per semplificarci la vita, do' un nome ai vettori incogniti:
$u_3=(a,b,c,d)$
$u_4=(e,f,g,h)$
di conseguenza devo risolvere i sistemi omogenei sapendo che $ker(A)=U$:
quindi prendendo spunto dal tuo procedimento:
$A*u_1^t=0$
$A*u_2^t=0$
(dove indico con $t$ i vettori trasposti)
eseguo i calcoli e ottengo i 2 vettori incogniti:
$u_3=(-1,2,1,-1)$
$u_4=(0,-1,0,1)$
che si nota subito appartengono ad $U$ in quanto sono combinazione lineare di $u_1$ e $u_2$
Ottengo la mia bella matrice A delle immagini:
$A=[(-1,0,-1,0),(1,-1,2,-1),(1,0,1,0),(0,1,-1,1)]$
$Im(f)=<(-1,1,1,0),(0,-1,0,1)>$ e $dim(Im(f))=2$
$Ker(f)=<(-1,1,1,0),(0,-1,0,1)>$ e $dim(Ker(f))=2$
Dimmi se sbaglio, ma tutto mi torna e risparmio qualche calcolo (lo so sono un po' svaccato)..
Una cosa che non mi è chiara, tutto ciò è espresso rispetto alle base canoniche del dominio e del codominio?
(per quanto riguarda il dominio sono sicuro perchè ho dato per buone le dichiarazioni $f(e_i)$ che mi hai fatto notare nel tuo svolgimento..)
Volendo trovare già nell'immagine i vettori $u_1$ e $u_2$ ho effettuato questo procedimento:
$f(e_1)=(-1,1,1,0)$
$f(e_2)=(0,-1,0,1)$
$f(e_3)=(a,b,c,d)$
$f(e_4)=(e,f,g,h)$
per semplificarci la vita, do' un nome ai vettori incogniti:
$u_3=(a,b,c,d)$
$u_4=(e,f,g,h)$
di conseguenza devo risolvere i sistemi omogenei sapendo che $ker(A)=U$:
quindi prendendo spunto dal tuo procedimento:
$A*u_1^t=0$
$A*u_2^t=0$
(dove indico con $t$ i vettori trasposti)
eseguo i calcoli e ottengo i 2 vettori incogniti:
$u_3=(-1,2,1,-1)$
$u_4=(0,-1,0,1)$
che si nota subito appartengono ad $U$ in quanto sono combinazione lineare di $u_1$ e $u_2$
Ottengo la mia bella matrice A delle immagini:
$A=[(-1,0,-1,0),(1,-1,2,-1),(1,0,1,0),(0,1,-1,1)]$
$Im(f)=<(-1,1,1,0),(0,-1,0,1)>$ e $dim(Im(f))=2$
$Ker(f)=<(-1,1,1,0),(0,-1,0,1)>$ e $dim(Ker(f))=2$
Dimmi se sbaglio, ma tutto mi torna e risparmio qualche calcolo (lo so sono un po' svaccato)..
Una cosa che non mi è chiara, tutto ciò è espresso rispetto alle base canoniche del dominio e del codominio?
(per quanto riguarda il dominio sono sicuro perchè ho dato per buone le dichiarazioni $f(e_i)$ che mi hai fatto notare nel tuo svolgimento..)
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