Esercizio spazi vettoriali

[_Matteo_C1]

Esercizio:
Sia $W$ sottospazio di $RR^3$ definito così:
$W:=<|(1),(0),(1)|,|(0),(1),(0)|>$
Trova infiniti supplementari di $W$ in $RR^3$
---
Io ho ragionato così:
Devo costruire degli insiemi $U$ tali che:
$U ++ W = RR^3$ (con ++ intendo somma diretta)
Ossia:
$U+W=RR^3$ e
$UnnW={O_(RR^3)}$.
Per Grassman mi ricavo che $dimU = 1$ (in quanto verifico che i vettori generatori di $W$ sono anche una base dello stesso).
Dunque, gli spazi vettoriali che devo costruire saranno rette di $RR^3$ tali che,l'intersezione di esse con il sottospazio $W$ sia il sottospazio ${O_(RR^3)}$.
Scelgo un vettore $r$ tale che $r\notin<|(1),(0),(1)|,|(0),(1),(0)|>$, ossia:
$\nexists a,b \in RR: r=a|(1),(0),(1)| + b|(0),(1),(0)|$
cioè:
$\{(x=a),(y=b),(z=a):}$
Dunque definisco la famiglia dei sottospazi così:
$U_r:={\lambda*r ; r = |(x),(y),(z)| ; x!=z, \lambda\inRR}$
Giusto?

[cirasa]

Esatto. $U_r$, ovvero lo spazio generato da $r=((x),(y),(z))$ (con $x!=z$), è un supplementare di $W$.
Osservando che al variare di $r$, posso ottenere infiniti $U_r$, hai finito.

[_Matteo_C1]

Grazie per la risposta Ho alcune domande:

1)E' necessario aggiungere che al variare di $r$ ottengo sottospazi distinti?
Ci provo:
dovrei prendere due sottospazi della famiglia $U_r$ e vedere che un qualsiasi vettore preso nell'uno non appartiene all'altro.
Prendo:
$U_r_1=<|(x),(y_1),(z)|>$ (con$x!=z$)
$U_r_2=<|(x),(y_2),(z)|>$ (con$x!=z$) e sia $y_1!=y_2$
Mi chiedo se esiste un $\alpha$ tale che:
$|(x),(y_1),(z)|=\alpha|(x),(y_2),(z)|$
$\{(x=\alphax),(y_1=\alphay_2),(z=\alphaz):}$
$\{(\alpha=1),(y_1=\alphay_2)):}$
Ma $\alpha$ non esiste in quanto essendo $y_1!=y_2$ nella seconda equazione è sicuramente diverso da $1$.

2) Guardando sul libro, c'è un esercizio uguale, ma con $RR^4$, ed il sottospazio generato $W$ è di dimensione $2$. In questo caso devo costruire una famiglia di sottospazi supplementari a $W$ ma a due dimensioni.
L'esercizio è questo:
$W=<|(1),(1),(0),(1)|,|(1),(0),(1),(0)|>$ sottospazio di $RR^4$.
Trovare infiniti supplementari distinti di $W$.

Ho fatto un procedimento analogo a quello del problema precedente, e alla fine trovo la famiglia dei sottospazi:
$U_(r,s) = <|(x),(y),(z),(t)|,|(x'),(y'),(z'),(t')|>$ con $y!=t, y'!=t' e tali che
$\nexists\theta: |(x),(y),(z),(t)|=\theta|(x'),(y'),(z'),(t')|$ (ossia non devono essere proporzionali).

Tuttavia sul libro per risolvere questo esercizio usa un altro procedimento:
sceglie due vettori, uno solo dei quali dipendente da un parametro, e, tali che al variare di questo parametro i due generino infiniti sottospazi distinti di $RR^4$ supplementari a $W$. Tuttavia non spiega dettagliatamente come procede dopo... Come si potrebbe procedere iniziando in questo modo??

Grazie mille!!

[cirasa]

"_Matteo_C":1)E' necessario aggiungere che al variare di $r$ ottengo sottospazi distinti?

Sì, è necessario. Pensa per esempio a $r_1=((3),(1),(4))$ e $r_2=((6),(2),(8))$.
Essi sono diversi ma mi sembra abbastanza ovvio che $U_{r_1}=U_{r_2}$.

La tua dimostrazione va bene a patto che tu specifichi di aver fissato a priori $x,z\in RR$ con $x!=z$.
Allora tu hai mostrato che se $y_1!=y_2$, allora, posto $r_1=((x),(y_1),(z))$ e $r_2=((x),(y_2),(z))$, si ha che $U_{r_1}!=U_{r_2}$.

Per quanto riguarda la domanda 2), deve determinare questa volta uno spazio di dimensione 2.
Sinceramente non ho capito cosa hai fatto tu.
Ti faccio notare comunque che, visto che non vuole sapere tutti i supplementari di $W$ (ma solo una famiglia infinita di supplementari), per semplificarti un po' i calcoli, puoi sceglierti un vettore che non appartiene a $W$ e completare (in infiniti modi) fino ad ottenere un supplementare di $W$. Che poi è quello che fa il tuo libro.
Se non è chiaro come si dovrebbe proseguire con il tuo libro, posta ciò che fa lui e magari completo io, appena ho un po' di tempo.