Esercizio spazi vettoriali

[MaxwellD]

Ho un dubbio nella risoluzione degli esercizi in cui mi si chiede di dimostrare che uno spazio vettoriale è somma di due sottospazi.

Poniamo il caso di \(\displaystyle V \) con \(\displaystyle dim = 3 \) e \(\displaystyle Bv = (i, j, k) \).
I due sottospazi sono \(\displaystyle U = span(i+j, i-j) \) e \(\displaystyle W = span(j+k, j-k) \).
Voglio dimostrare che \(\displaystyle U + W = V \).

Il mio obiettivo non dovrebbe essere dimostrare che un generico \(\displaystyle v \) di \(\displaystyle V \) si può scrivere come \(\displaystyle u + w \) (rispettivamente appertnenenti al primo e al secondo span) ?

Se questo non è sbagliato, ponendo il generico \(\displaystyle v = f*i + g*j + h*k \) dove\(\displaystyle f,g, h \) possono assumere ogni valore in \(\displaystyle K \) devo dimstrare che è uguale a:
\(\displaystyle a*(i+j) + b*(i-j) + c*(j+k) + d*(j-k) \) dove anche a,b, c, d possono assumere ogni valore in K\(\displaystyle \) e applicando (correttamente?) le proprietà degli spazi vettoriali ciò è uguale a \(\displaystyle (a+b)*i + (a- b + c+d)*j + (c-d)*k \) e questo non può essere uguale a (giusto?) \(\displaystyle v = f*i + g*j + h*k \) perchè mentre nella prima scrittura dalle coordinate di \(\displaystyle i \) e\(\displaystyle k \) discende necessariamente quella di \(\displaystyle j \) nella seconda no... Ho la sensazione che mi sfugga qualcosa di piuttosto grosso... Ma cosa??

[MaxwellD]

Guarda, onestamente essendo abbastanza in-esperto in materia, non so se il mio dubbio è sciocco o meno, ma quello che mi chiedevo è:

Se un generico vettore di V è combinazione lineare di \(\displaystyle i, j, k \) vuol dire che rispetto alla suddetta base, posso avere vettori con coordinate di ogni valore, giusto?
Questo dovrebbe valere anche per il sistema di generatori formato dalle due basi di \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle W \), se è vero quello che voglior provare: ma se verifico che con tale sistema di generatori posso scrivere soltanto vettori nella forma \(\displaystyle (a+b)*i + (a- b + c+d)*j + (c-d)*k \) allora non posso avere ogni coordinata rispetto alla base di \(\displaystyle V = ( i, j, k)\), nel senso che non tutte le terne numeriche possono essere ottenute con \(\displaystyle (a+b), (a- b + c+d), (c-d) \). Sono riuscito a essere chiaro o non capisci il mio dubbo ?

[elvis3]

"MaxwellD":
non posso avere ogni coordinata rispetto alla base di V=(i,j,k), nel senso che non tutte le terne numeriche possono essere ottenute con (a+b),(a−b+c+d),(c−d). Sono riuscito a essere chiaro o non capisci il mio dubbo (sic)?

Il tuo dubbio è chiaro, ma la tua conclusione è errata. Tu affermi in sostanza che il sistema

\[
\{\,\, x+y=p, \quad x-y+z+t = q, \quad z - t = r \,\,\} \qquad (\ast)
\]
non ha soluzione per certi valori di \(p\), \(q\) e \(r\). È falso. Un modo per convincersene è il seguente.
La forma matriciale del sistema \((\ast)\) è

\[
A
\begin{pmatrix}
x\\y\\z\\t
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
p\\q\\r
\end{pmatrix}
\]
dove \(A\) è la matrice \(\begin{pmatrix}
1 & 1& 0 & 0\\
1 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}\). Ora puoi notare che \(A\) ha rango 3: vuol dire, al variare di \(x\), \(y\), \(z\), \(t\), i vettori \(A \begin{pmatrix} x\\y\\z\\t\end{pmatrix}\) coprono tutto \(\mathbb{R}^3\). In altre parole, il sistema \((\ast)\) ha almeno una soluzione per ogni \(p\), \(q\), \(r\).

[vittorino70]

Io farei come segue ( anche se qualche dubbio mi assale ...)
Calcolo la dimensione di \(\displaystyle U \cap W\) ponendo:
\(\displaystyle a(i+j)+b(i-j)=c(j+k)+d(j-k) \)
Da cui il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} a+b=0\\a-b=c+d\\c-d=0\end{cases} \)
che ha come soluzione :
\(\displaystyle \begin{cases} a=d\\b=-d\\c=d \end{cases} \)
Pertanto risulta :
\(\displaystyle U \cap W =\{(d(i+j)-d(i-j)\}=\{d(j+k)+d(j-k)\}=\{2dj\} \)
Come si vede risulta \(\displaystyle dim(U \cap W )=1\) per la presenza dell'unico parametro d.
Allora per la formula di Grassmann si ha:
\(\displaystyle dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)=2+2-1=3 =dim(V)\)
e poiché U e W sono sottospazi di V non può che essere \(\displaystyle U+W=V \)

[Chiariello1]

Detto V il sottospazio di R[x] generato dai polinomi a(x)=(1- x)(1+x) b(x)=(1- x)(1-x) c(x)=(1- x)
si ha che
A) dim(V)= 2
B) dim(V)= 1
A) dim(V)=3
A) dim(V)= infinito
Come si svolge questo esercizio?? grazie...