Esercizio spazi con parametri
Siano U e h W i sottospazi di R4 così
definiti:
U={(x,y,z,t) R4 / x+y-2z=0, 2x-y-t=0}
W =L((-2,0,h,h),(-2,0,h,-h)
Dire per quali valori di h risulta U + W =U somma diretta W .
Per risolvere questo ho pensato di imporre l'intersezione U e W = vettore nullo, in modo da avere somma diretta per forza.
Il problema è che risolvendo il sistema il termine h va via e non riesco quindi a determinarlo. Ho sbagliato sicuramente qualcosa ma non capisco dove. Mi viene sempre e comunue h=0 mentre la soluzione è h != -1
Dire per quali valori di h risulta R4 = U somma diretta W
Uno spazio è somma diretta di sottospazi se R4 = U+W
Ho trovato U+W, ma ora non so come "porlo" uguale a R4. Come devo procedere?
definiti:
U={(x,y,z,t) R4 / x+y-2z=0, 2x-y-t=0}
W =L((-2,0,h,h),(-2,0,h,-h)
Dire per quali valori di h risulta U + W =U somma diretta W .
Per risolvere questo ho pensato di imporre l'intersezione U e W = vettore nullo, in modo da avere somma diretta per forza.
Il problema è che risolvendo il sistema il termine h va via e non riesco quindi a determinarlo. Ho sbagliato sicuramente qualcosa ma non capisco dove. Mi viene sempre e comunue h=0 mentre la soluzione è h != -1
Dire per quali valori di h risulta R4 = U somma diretta W
Uno spazio è somma diretta di sottospazi se R4 = U+W
Ho trovato U+W, ma ora non so come "porlo" uguale a R4. Come devo procedere?
Risposte
"Vincent":
Per risolvere questo ho pensato di imporre l'intersezione U e W = vettore nullo, in modo da avere somma diretta per forza.
E quindi cosa hai fatto? (P.S.: ti consiglio di scrivere tutto con il linguaggio Latex del forum, pena bannaggio!
)
Ho risolto il sistema che mi è venuto fuori e mi viene h = 0 subito, mentre la soluzione è -1
Sì, ho capito, ma me lo scrivi questo sistema?
Ho risolto da solo, sbagliavo a copiare il sistema
Volevo chiedere un'altra cosa.
Rappresentare il piano $beta$ contenente $r$ e ortogonale ad $alpha$
Con $alpha: 2x+y-z+1=0$ e $r=(-1,1,2)$
Per prima cosa calcolo r in forma parametrica ottenendo
${x+y-1=0$
${2y-z-1 = 0$
Per rispettare le condizioni, costruisco un fascio di piani passante per R e troverò poi quello ortogonale ad $alpha$
Prendo il vettore normale al piano $alpha$ e impongo la condizione del prodotto scalare nullo in quanto perpendicolari
${2a+b-c=0$
${t(x+y-1)+t_1(2y-z-1)$
Essendo sostanzialmente bloccato qui, ho provato a imporre i valor a,b,c della prima equazione nella seconda, in questo modo
$2t+t+2t_1+t+t_1 = 0$ Quindi $t=3/4 t_1$
Sostituendo nel fascio, ottengo il piano finale
$4x+10y-3z-7 = 0$ Ma non è la soluzione $(x-y+z=0)$
Dove ho sgarrato?
Volevo chiedere un'altra cosa.
Rappresentare il piano $beta$ contenente $r$ e ortogonale ad $alpha$
Con $alpha: 2x+y-z+1=0$ e $r=(-1,1,2)$
Per prima cosa calcolo r in forma parametrica ottenendo
${x+y-1=0$
${2y-z-1 = 0$
Per rispettare le condizioni, costruisco un fascio di piani passante per R e troverò poi quello ortogonale ad $alpha$
Prendo il vettore normale al piano $alpha$ e impongo la condizione del prodotto scalare nullo in quanto perpendicolari
${2a+b-c=0$
${t(x+y-1)+t_1(2y-z-1)$
Essendo sostanzialmente bloccato qui, ho provato a imporre i valor a,b,c della prima equazione nella seconda, in questo modo
$2t+t+2t_1+t+t_1 = 0$ Quindi $t=3/4 t_1$
Sostituendo nel fascio, ottengo il piano finale
$4x+10y-3z-7 = 0$ Ma non è la soluzione $(x-y+z=0)$
Dove ho sgarrato?
Ma $r$ cosa è? Da come l'hai scritto, pare un punto.... e poi lo hai parametrizzato come una retta!
No r era passante per 2 punti e ne ho calcolato la direzione facendone la sottrazione.
Avrei ancora un'altra domanda.
Ho 2 spazi vettoriali di cui devo calcolare una base del loro spazio somma
$U=L((0,-1,1,0)(1,-1,0,1)); W = L((-1,1,0,0)(-1,0,1,1))$
Così metto tutti i vettori in una matrice e cerco il determinante della matrice che è 0. In effetti ci sono 2 colonne linearmente dipendenti.
Ora se fossero state righe lin. dip. l'avrei semplicemente eliminata ed avrei ottenuto la mia base. Ma con le colonne come devo procedere? Se elimino la colonna mi ritrovo 4 vettori da 3 elementi e non vanno affatto bene. Devo trasporre la matrice? Il fatto che siano le colonne ad essere lin. dip. non c'entra niente?
La base di questo spazio somma quale è?
Avrei ancora un'altra domanda.
Ho 2 spazi vettoriali di cui devo calcolare una base del loro spazio somma
$U=L((0,-1,1,0)(1,-1,0,1)); W = L((-1,1,0,0)(-1,0,1,1))$
Così metto tutti i vettori in una matrice e cerco il determinante della matrice che è 0. In effetti ci sono 2 colonne linearmente dipendenti.
Ora se fossero state righe lin. dip. l'avrei semplicemente eliminata ed avrei ottenuto la mia base. Ma con le colonne come devo procedere? Se elimino la colonna mi ritrovo 4 vettori da 3 elementi e non vanno affatto bene. Devo trasporre la matrice? Il fatto che siano le colonne ad essere lin. dip. non c'entra niente?
La base di questo spazio somma quale è?
Ma scusa, se metti insieme tutti i vettori ottieni la matrice
$((1,-1,0,1),(0,-1,0,1),(-1,1,0,0),(-1,0,1,1))$ da cui, dopo una prima riduzione hai $((1,-1,0,1),(0,-1,0,1),(0,0,0,1),(0,-1,1,2))$
e dopo una seconda riduzione, scambiando la terza e la quarta riga
$((1,-1,0,1),(0,-1,0,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1))$
e quindi la matrice ha rango $4$. Del resto il determinante della matrice precedente è $1$, non zero come hai detto tu! E ste colonne linearmente dipendenti non le vedo mica! Puoi concludere allora che $\dim(U+V)=4$. E quindi una base è costituita da tutti e quattro i vettori.
$((1,-1,0,1),(0,-1,0,1),(-1,1,0,0),(-1,0,1,1))$ da cui, dopo una prima riduzione hai $((1,-1,0,1),(0,-1,0,1),(0,0,0,1),(0,-1,1,2))$
e dopo una seconda riduzione, scambiando la terza e la quarta riga
$((1,-1,0,1),(0,-1,0,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1))$
e quindi la matrice ha rango $4$. Del resto il determinante della matrice precedente è $1$, non zero come hai detto tu! E ste colonne linearmente dipendenti non le vedo mica! Puoi concludere allora che $\dim(U+V)=4$. E quindi una base è costituita da tutti e quattro i vettori.
Io invece le ho disposte in quest'ordine (il che non cambia niente ,a parte il segno)
$((-1,1,0,0),(-1,0,1,1),(1,-1,0,1),(0,-1,1,0))$
Dalla quale noto, se non mi stanno venendo veramente le traveggole a causa degli esercizi, che $C_3 = -(C_1+C_2)$
Con C intendo la colonna corrispondente.
Edit: si ho trovato ho sbagliato a copiare i vettori nel post sopra. Scusami, sono proprio fuso. La matrice giusta è questa qui in questo post.
$((-1,1,0,0),(-1,0,1,1),(1,-1,0,1),(0,-1,1,0))$
Dalla quale noto, se non mi stanno venendo veramente le traveggole a causa degli esercizi, che $C_3 = -(C_1+C_2)$
Con C intendo la colonna corrispondente.
Edit: si ho trovato ho sbagliato a copiare i vettori nel post sopra. Scusami, sono proprio fuso. La matrice giusta è questa qui in questo post.
Ok, in ogni caso, puoi sempre ridurre per righe e trovi che
$((-1,1,0,0),(0,1,-1,-1),(0,0,0,1),(0,-1,1,0))$ con la prima riduzione e $((-1,1,0,0),(0,1,-1,-1),(0,0,0,1),(0,0,0,-1))$ con la seconda,
da cui puoi dedurre che la matrice ha rango tre e quindi $\dim(U+W)=3$. Scegli tre dei vettori precedenti ed hai trovato la base.
$((-1,1,0,0),(0,1,-1,-1),(0,0,0,1),(0,-1,1,0))$ con la prima riduzione e $((-1,1,0,0),(0,1,-1,-1),(0,0,0,1),(0,0,0,-1))$ con la seconda,
da cui puoi dedurre che la matrice ha rango tre e quindi $\dim(U+W)=3$. Scegli tre dei vettori precedenti ed hai trovato la base.
A)Quindi anche se ho dipendenza lineare nelle colonne posso sempre ricondurla a dipendenza lineare in righe?
B)Riguardo la domanda della retta e del piano sopra?
C)Se ho 2 chiusure lineari di 2 sottospazi, come ne determino l'unione? Devo per forza trasformare uno dei 2 in equazioni? (e come si fa:)?)
D)Quale è la condizione affinchè un piano passi per un punto e sia incidente ad una retta??
Il libro che possiedo (consigliato dalla prof.) (Pellegrini-Benini-Morini) non contiene tutto ciò!
B)Riguardo la domanda della retta e del piano sopra?
C)Se ho 2 chiusure lineari di 2 sottospazi, come ne determino l'unione? Devo per forza trasformare uno dei 2 in equazioni? (e come si fa:)?)
D)Quale è la condizione affinchè un piano passi per un punto e sia incidente ad una retta??
Il libro che possiedo (consigliato dalla prof.) (Pellegrini-Benini-Morini) non contiene tutto ciò!
A) certo: il rango per righe e il rango per colonne di una matrice coincidono, quindi basta ragionare sulle righe!
B) Ora la riguardo e poi ti dico.
C) Cosa intendi per chiusura lineare?
B) Ora la riguardo e poi ti dico.
C) Cosa intendi per chiusura lineare?
W = L(qualcosa)
U = L(qualcos'altro)
Come determino l'unione tra W e U? E l'intersezione?
Per l'unione dovrebbe bastare calcolare lo spazio somma (in quanto è proprio una base dell'unione)
Per l'intersezione?
U = L(qualcos'altro)
Come determino l'unione tra W e U? E l'intersezione?
Per l'unione dovrebbe bastare calcolare lo spazio somma (in quanto è proprio una base dell'unione)
Per l'intersezione?
Allora, riguardo al problema della retta e del piano.
Il piano che cerchi ha equazione generica $ax+by+c=d$ e deve appartenere al fascio di piani
$t(x+y-1)+2y-z-1=0\qquad\Rightarrow\qquad t x+(t+2)y-z=1+t$ (nota che puoi usare un solo parametro dal momento che i due piani che contengono $r$ non possono essere quello cercato. A questo punto hai
$a=t,\qquad b=t+2,\qquad c=-1,\qquad d=1+t$.
Se ora usi la relazione di perpendicolarità $2a+b-c=0$, abbiamo
$2t+t+2+1=0$ e quindi $t=-1$. Ne segue $a=-1,\ b=1,\ c=-1,\ d=0$ ed il piano $x-y+z=0$.
Il piano che cerchi ha equazione generica $ax+by+c=d$ e deve appartenere al fascio di piani
$t(x+y-1)+2y-z-1=0\qquad\Rightarrow\qquad t x+(t+2)y-z=1+t$ (nota che puoi usare un solo parametro dal momento che i due piani che contengono $r$ non possono essere quello cercato. A questo punto hai
$a=t,\qquad b=t+2,\qquad c=-1,\qquad d=1+t$.
Se ora usi la relazione di perpendicolarità $2a+b-c=0$, abbiamo
$2t+t+2+1=0$ e quindi $t=-1$. Ne segue $a=-1,\ b=1,\ c=-1,\ d=0$ ed il piano $x-y+z=0$.
Per il secondo: supponiamo che $U=L(K)$ e $W=L(H)$ dove $H,K$ possono essere insiemi di vettori o di equazioni. Per prima cosa determini l'intersezione $H\cap K$ che ti fornisce, automaticamnete, l'intersezione $U\cap W$. Poi usi la formula di Grasmann vettoriale
$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$
per determinare la dimensione della somma. Alla fine trovare una base della somma risulta abbastanza semplice: infatti ti basta prendere i vettori o le equazioni presenti in $H$ e $K$ che sono tra loro indipendenti e che siano in numero pari alla dimensione della somma stessa.
$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$
per determinare la dimensione della somma. Alla fine trovare una base della somma risulta abbastanza semplice: infatti ti basta prendere i vettori o le equazioni presenti in $H$ e $K$ che sono tra loro indipendenti e che siano in numero pari alla dimensione della somma stessa.
(nota che puoi usare un solo parametro dal momento che i due piani che contengono $r$ non possono essere quello cercato. A questo punto hai.
Mmm non ho capito.
"ciampax":
Per il secondo: supponiamo che $U=L(K)$ e $W=L(H)$ dove $H,K$ possono essere insiemi di vettori o di equazioni. Per prima cosa determini l'intersezione $H\cap K$ che ti fornisce, automaticamnete, l'intersezione $U\cap W$. Poi usi la formula di Grasmann vettoriale
Problema dell'intersezione che si risolve con una intersezione.
Come si calcola quest'ultima?
Il mio libro presenta solo un metodo nel caso in cui per uno spazio ho L(quellochevuoi) e un altro spazio in forma di equazioni come $x+y = z - t$ (l'ho presa a caso)
Ti pare che i due piani che contengono la retta $r$ possano essere perpendicolari al piano $\alpha$? Eddai, un minimo di sforzo! Se usi tutti e due i parametri in un fascio, è perché potresti avere la possibilità che uno dei due piani sia quello che risolve il problema. Ma vedi subito che così non è! quindi sei sicuro che entrambi i parametri sono non nulli e quindi, sostanzialmente, ne puoi cancellare uno!
Il punto è che noi non abbiamo mai visto una cosa del genere a un parametro. Pecco di logica e non ci arrivo se non me lo dicono o se non lo studio, evidentemente.
E poi, guardando solo ad occhio non vedo perchè uno di loro non possa essere una soluzione.
E poi, guardando solo ad occhio non vedo perchè uno di loro non possa essere una soluzione.
Perché i coefficienti non soddisfano la condizione di perpendicolarità!
Mi sta bene ma è una condizione che va verificata, prima eventualmente di togliere il parametro
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