Esercizio sottospazio vettoriale

[Simaker]

ciao a tutti,
mi servirebbe un aiuto perchè sono confuso :
Partendo da un insieme $ W= {(x,y,z) in RR^3 | x+2y+3z =0}$ come faccio a verificare che è sottospazio di $RR^2$, e a trovare la sua base?
E' giusto interpretare lo spazio $W$ come quello spazio generato dalla funzione lineare $f$ che partendo da $(x,y,z)$ assegna $ x +2y +3x$ ovvero che da $RR^3$ mi da un numero in $RR$?
Partendo da ciò potrei prendere 2 elementi $v= (x_1,y_1 z_1)$ e $w= (x_2,y_2,z_2)$ e verificare che $ f(v)+f(w) = f(v+w)$ e che $kf(v)= f(kv)$. Verificate queste 2 operazioni posso affermare che $W$ sia spazio vettoriale ma non capisco come verificare che appartenga a $RR^2$ e non capisco come utilizzare l'informazione che $x+2y+3z$ deve essere $= 0$.
grazie in anticipo

[Maci86]

Devi anche vedere che lo $0$ appartenga al tuo spazio. Trova dei vettori indipendenti che siano soluzioni dell'equazione. Poi verifichi quello che hai trovato sia uno spazio vettoriale con le regole che hai scritto. Sai trovare dei vettori che generino lo spazio $W$?

[minomic]

@Simaker
Intendevi dire "... verificare che è sottospazio di $RR^3$", vero?

[Maci86]

Non l'avevo nemmeno visto Hai ragione Minomic!

[Simaker]

si hai ragione, ho sbagliato a copiare il testo intendevo sottospazio di $RR^3$.
Non ho capito cosa intendi Maci86; il fatto che lo zero appartenga allo spazio lo dimostro se riesco a verificare le condizioni di additività e prodotto per uno scalare. Quanti vettori indipendenti devo trovare? come faccio? mi rimando al dubbio di prima....."Verificate queste 2 operazioni posso affermare che $W$ sia spazio vettoriale ma non capisco come verificare che appartenga a $RR^3$ e non capisco come utilizzare l'informazione che $x+2y+3z$ deve essere $=0$.
Grazie per la tua e la vostra pazienza

[minomic]

Dunque, quelle $x, y, z$ rappresentano gli elementi di un generico vettore di $RR^3$, cioè $((x), (y), (z))$. Quindi per dimostrare che $\vec{0} = ((0), (0), (0))$ appartiene al sottospazio devi vedere se è vero che $0+2*0+3*0=0$. Ovviamente sì.
Per quanto riguarda la base: dall'equazione del sottospazio puoi immediatamente ricavare$$x = -2y-3z$$ quindi il generico vettore del sottospazio è fatto in questo modo$$
\begin{pmatrix}
-2y-3z\\y\\z
\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}
-2\\1\\0
\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}
-3\\0\\1
\end{pmatrix}.
$$ Cosa stiamo dicendo? Che il generico vettore del sottospazio è esprimibile come combinazione lineare di quei due vettori, che quindi formano una base.

[Simaker]

perfetto ho capito tutto.
Grazie

[minomic]

Prego!