Esercizio Sottospazio

[Volpes1]

Sia A $ ( ( 1 , 1 ),( 1, 1 ) ) $ ∈M2R. Trovare le matrici B∈M2r tali che A-B=(1+A)(A-B). Queste matrici B costituiscono un sottospazio di M2R? Se si che dimensione ha ?

Ho trovato la matrice B $ ( ( 0 , 0 ),( 2 , 2 ) ) $ Ma mi sono bloccata. Come faccio a fare il resto? Come dimostro che costituiscono un sottospazio?

[vict85]

Dovresti scrivere tutte le formule usando le formule.

Detto questo \(\displaystyle A-B(1+A)(A-B) \) è una espressione algebrica, non una equazione. Insomma non ha verità. Se io prendo un qualsiasi \(\displaystyle B \) avrò una matrice \(\displaystyle C \) tale che \(\displaystyle C=A-B(1+A)(A-B) \). Che condizioni deve avere \(\displaystyle C \)? Insomma avrai dimenticato parte del testo.

[Volpes1]

scusa ho sbagliato il testo! è A-B= (1+A)(1A-B)

[vict85]

Posto \(\displaystyle C = A-B \) si ha che \(\displaystyle C = C + AC \) cioè \(\displaystyle AC = 0 \). Perciò \(\displaystyle A^2-AB = 0 \) ovvero \(A^2 = AB\).

Siccome \(\displaystyle \sum_{k=1}^2 a_{ik}a_{kj} = 2 \) per ogni \(\displaystyle i,j \) si ha che \(\displaystyle
2 = \sum_{k=1}^2 a_{ik}b_{kj} = \sum_{k=1}^2 b_{kj} \) per ogni \(\displaystyle j \).

Quindi, se non ho fatto errori di disattenzione, direi che non è un sottospazio (ma la dimostrazione la lascio a te).