Esercizio: sottospazi vettoriali
Salve!
Avrei bisogno di una conferma sull'impostazione del seguente esercizio:
La soluzione del seguente sistema lineare
$\{(3x + y - z +r + s = 0),(x + y - z = 0),(4x -+2y - 2z + r + s = 0):}$
costituisce un sottospazio di $RR^5$. Determinarne quindi una base.
-------------------------------------------------------------
Imposterei l'esercizio in questo modo:
Andando ad esplicitare la $x$ dalla 2a equazione ci accorgiamo che la prima e la terza diventano identiche e quindi linearmente dipendenti.
$\{(x = -y + z),(-2y + 2z + r + s = 0),(-2y + 2z + r + s = 0):}$
Eliminando quindi la terza eq del sistema poiché linearmente dipendente alla prima deduciamo che il sottospazio generato dalle eq rimanenti ha dimensione 3 ($dim(RR^5) - 2 = 3$).
Ho quindi bisogno di 3 vettori per avere una base per il nostro sottospazio e li ottengo andando a sostituire nel sistema rispettivamente:
$z,r,s = (1,0,0)$
$z,r,s = (0,1,0)$
$z,r,s = (0,0,1)$
Non mi metto a svolgere tutti i calcoli poiché ho dubbi solo sul procedimento utilizzato per arrivare sino a qui.
Ora la mia domanda è... ho scritto un sacco di fesserie o l'esercizio è stato impostato bene?
Aspetto fiducioso i vostri feedback!
Avrei bisogno di una conferma sull'impostazione del seguente esercizio:
La soluzione del seguente sistema lineare
$\{(3x + y - z +r + s = 0),(x + y - z = 0),(4x -+2y - 2z + r + s = 0):}$
costituisce un sottospazio di $RR^5$. Determinarne quindi una base.
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Imposterei l'esercizio in questo modo:
Andando ad esplicitare la $x$ dalla 2a equazione ci accorgiamo che la prima e la terza diventano identiche e quindi linearmente dipendenti.
$\{(x = -y + z),(-2y + 2z + r + s = 0),(-2y + 2z + r + s = 0):}$
Eliminando quindi la terza eq del sistema poiché linearmente dipendente alla prima deduciamo che il sottospazio generato dalle eq rimanenti ha dimensione 3 ($dim(RR^5) - 2 = 3$).
Ho quindi bisogno di 3 vettori per avere una base per il nostro sottospazio e li ottengo andando a sostituire nel sistema rispettivamente:
$z,r,s = (1,0,0)$
$z,r,s = (0,1,0)$
$z,r,s = (0,0,1)$
Non mi metto a svolgere tutti i calcoli poiché ho dubbi solo sul procedimento utilizzato per arrivare sino a qui.
Ora la mia domanda è... ho scritto un sacco di fesserie o l'esercizio è stato impostato bene?
Aspetto fiducioso i vostri feedback!
Risposte
Ciao Whispers,
un modo per controllare se l'impostazione è corretta esiste : concludi i calcoli e , una volta trovata un'ipotetica base del sottospazio delle soluzioni del sistema ,puoi provare a inserire un pò di valori a caso come coefficienti dei vettori della base , poi sostuisci e se ottieni il vettore nullo in questo caso avrai la conferma che hai tra le mani proprio una base del sottospazio delle soluzioni del tuo sistema.
Si comunque , l'impostazione è corretta.. in alternativa potevi anche risolvere all'indietro il sistema rappresentato dalla riduzione a scala della matrice dei coefficienti del tuo sistema di partenza, questione di gusti
un modo per controllare se l'impostazione è corretta esiste : concludi i calcoli e , una volta trovata un'ipotetica base del sottospazio delle soluzioni del sistema ,puoi provare a inserire un pò di valori a caso come coefficienti dei vettori della base , poi sostuisci e se ottieni il vettore nullo in questo caso avrai la conferma che hai tra le mani proprio una base del sottospazio delle soluzioni del tuo sistema.
Si comunque , l'impostazione è corretta.. in alternativa potevi anche risolvere all'indietro il sistema rappresentato dalla riduzione a scala della matrice dei coefficienti del tuo sistema di partenza, questione di gusti
Grazie mille! Comincio a vedere la luce alla fine di questo lungo tunnel che è l'esame di matematica discreta! XD
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