[Esercizio] sottospazi vettoriali
Determinare la dimensione del sottospazio $W sub Hom(R^3,R^3)$ definito da:
$W={L\inHom(R^3,R^3): Im(L)subS}$ dove $S={(x,y,z)\inR^3: x+y+z<=1, x+y+z>=-1}$
La soluzione che mi è venuta in mente (chissà se è giusta?) è questa:
noto che i due piani $ \pi_1:x+y+z=1, \pi_2:x+y+z=-1 $ sono paralleli e l'origine è contenuta in $S$ visto che $0<=1, 0>=-1$, manipolando le disequazioni si ottiene poi $-1-(x+y)<=z<=1-(x+y)$ che non riesco ad interpretare. Suppongo però che $S$ sia la fetta di spazio compresa tra i due piani, se non fosse cosi $W$ sarebbe l'insieme vuoto.
Un applicazione che sta in $W$ avente immagine di dimensione uno, può avere come immagini solo rette parallele ai piani$\pi_1,pi_2$, quindi prendendo $L_1$ tale che $Im(L_1)$ è una retta parallela ai piani e $L_2$ tale che $Im(L_2)$ è una retta parallela ai piani ma diversa da $Im(L_1)$, tutte le combinazioni lineare $\lambdaL_1+\betaL_2$ stanno in $W$, in più ci sono tutte le applicazioni $L_3$ che hanno come immagine il piano $x+y+z=0$.
Se ${L_1,L_2,L_3}$ è un insieme linearmente indipendente(?), forma una base di $W$ senò è un suo sistema di generatori.
Chiedo commenti e correzioni grazie.
$W={L\inHom(R^3,R^3): Im(L)subS}$ dove $S={(x,y,z)\inR^3: x+y+z<=1, x+y+z>=-1}$
La soluzione che mi è venuta in mente (chissà se è giusta?) è questa:
noto che i due piani $ \pi_1:x+y+z=1, \pi_2:x+y+z=-1 $ sono paralleli e l'origine è contenuta in $S$ visto che $0<=1, 0>=-1$, manipolando le disequazioni si ottiene poi $-1-(x+y)<=z<=1-(x+y)$ che non riesco ad interpretare. Suppongo però che $S$ sia la fetta di spazio compresa tra i due piani, se non fosse cosi $W$ sarebbe l'insieme vuoto.
Un applicazione che sta in $W$ avente immagine di dimensione uno, può avere come immagini solo rette parallele ai piani$\pi_1,pi_2$, quindi prendendo $L_1$ tale che $Im(L_1)$ è una retta parallela ai piani e $L_2$ tale che $Im(L_2)$ è una retta parallela ai piani ma diversa da $Im(L_1)$, tutte le combinazioni lineare $\lambdaL_1+\betaL_2$ stanno in $W$, in più ci sono tutte le applicazioni $L_3$ che hanno come immagine il piano $x+y+z=0$.
Se ${L_1,L_2,L_3}$ è un insieme linearmente indipendente(?), forma una base di $W$ senò è un suo sistema di generatori.
Chiedo commenti e correzioni grazie.
Risposte
Questo esercizio è tutto un trabocchetto, ma mi pare che la tua idea sia corretta, per stare in quella regione l'unica possibilità è che \(\mathrm{Im}(L)\) sia contenuta nel piano \(x+y+z=0\).
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