Esercizio sottospazi vettoriali
Salve a tutti, è il primo argomento che pubblico quindi spero di non infrangere qualche regola; in tal caso, chiedo anticipatamente scusa 
Il problema (che dovrebbe essere abbastanza banale) è questo:
Trovare un sottospazio $R^3$ che contiene i vettori u=i-k e v=i+j. (non è specificato nella traccia ma immagino che i, j, k siano i versori degli assi x, y e z).
Non so come impostarlo... immagino di dover trovare un terzo vettore linearmente indipendente a u e v, ma sono alle prim(issim)e armi!
Grazie in anticipo per l' attenzione!
Il problema (che dovrebbe essere abbastanza banale) è questo:
Trovare un sottospazio $R^3$ che contiene i vettori u=i-k e v=i+j. (non è specificato nella traccia ma immagino che i, j, k siano i versori degli assi x, y e z).
Non so come impostarlo... immagino di dover trovare un terzo vettore linearmente indipendente a u e v, ma sono alle prim(issim)e armi!
Grazie in anticipo per l' attenzione!
Risposte
Ti consiglierei di usare questo fatto teorico.
"Sia $V(K)$ uno spazio vettoriale e $X$ un suo sottoinsieme. Allora $[X]$ è il più piccolo sottospazio vettoriale di $V$ contenente $X$" (con $[X]$ indico il sottospazio generato che possiamo definire come l'insieme delle combinazioni lineari di elementi di $X$)
Quindi un sottospazio che contiene nel nostro caso $X={u,v}$ è $[X]$, cioè $[u,v]$
Ps: hai detto semplicemente sottospazio quindi in teoria andava bene anche $RR^3$
"Sia $V(K)$ uno spazio vettoriale e $X$ un suo sottoinsieme. Allora $[X]$ è il più piccolo sottospazio vettoriale di $V$ contenente $X$" (con $[X]$ indico il sottospazio generato che possiamo definire come l'insieme delle combinazioni lineari di elementi di $X$)
Quindi un sottospazio che contiene nel nostro caso $X={u,v}$ è $[X]$, cioè $[u,v]$
Ps: hai detto semplicemente sottospazio quindi in teoria andava bene anche $RR^3$
grazie mille per la risposta, in pratica era già risolto 
In teoria sì. Ti ritrovi con quel fatto teorico?
ci sono, abbastanza... in realtà il mio primo tentativo di risoluzione è stato cercare un terzo vettore linearmente indipendente a u e a v. Ho fatto il prodotto vettoriale fra questi due ed ho trovato un terzo vettore (linearmente indipendente, appunto)... Se non erro, in questo modo ho trovato una base di $R^3$, giusto?
Non erri. Nello spazio tre vettori sono linearmente indipendenti se e soltanto se non sono complanari e col prodotto vettoriale fai in modo che non lo sia.
"SvenPap":
immagino di dover trovare un terzo vettore linearmente indipendente a $u$ e $v$
Perché?
"SvenPap":
Trovare un sottospazio $R^3$ che contiene i vettori $u=i-k$ e $v=i+j$
$V=mathcal(L){((1),(0),(-1)), ((1),(1),(0))}$
"Cantor99":
Non erri. Nello spazio tre vettori sono linearmente indipendenti se e soltanto se non sono complanari e col prodotto vettoriale fai in modo che non lo sia.
Perfetto, è che studiando man mano sto riordinando le idee, grazie per le risposte Cantor
"Magma":
[quote="SvenPap"] immagino di dover trovare un terzo vettore linearmente indipendente a $ u $ e $ v $
Perché?
"SvenPap":
Trovare un sottospazio $ R^3 $ che contiene i vettori $ u=i-k $ e $ v=i+j $
$ V=mathcal(L){((1),(0),(-1)), ((1),(1),(0))} $
[/quote]Grazie mille Magma. La questione del trovare un terzo vettore dipende dal fatto che ho confuso i concetti e quindi pensavo di dover trovare una base, per definire lo spazio vettoriale
Il discorso era più semplice del previsto ,invece... Grazie mille ad entrambi! 
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