Esercizio sottospazi vettoriali.

[tokask]

Chiedo aiuto per il metodo di soluzione di questo esercizio sui sottospazi vettoriali.

Premesso che $ x+y+z=x+2y+4z $ è un sotto spazio vettoriale con Dim=2,
come posso procedere in questo caso ?
$
x+y+z=0
$
$
x+2y+4z=0
$
È un sottospazio vettoriale ?
nell'ipotesi che sia un sottospazio vettoriale, come calcolo la sua dimensione ?

Grazie

[billyballo2123]

Ciao e benvenuto nel forum . Ricordati che è gradito porre un \$ all'inizio e alla fine di ogni formula, così da visualizzare le formule in formato LaTeX.

In generale se hai uno spazio vettoriale $V$ e hai un suo sottoinsieme $W$, affinché $W$ sia un sottospazio di $V$ si devono verificare due cose:
1) Dati due vettori $w_1,w_2\in W$, $w_1 + w_2$ deve appartenere a $W$;
2) Dato un vettore $w\in W$ e uno scalare $\lambda\in\mathbb{R}$ (o più in generale $\lambda\in\mathbb{K}$), $\lambda w$ deve appartenere a $W$.

Nel tuo caso sai che $w_1=(x_1 \ \ y_1 \ \ z_1)^T$ e $w_2=(x_2 \ \ y_2 \ \ z_2)^T$ sono tali che
$x_k+y_k+z_k = 0$
$x_k + 2y_k + 4z_k=0$
dunque se definisci il vettore $w=w_1+w_2=(\tilde{x} \ \ \tilde{y} \ \ \tilde{z})=(x_1 + x_2 \ \ y_1 + y_2 \ \ z_1 + z_2)^T$ allora hai che
$\tilde{x} + \tilde{y} + \tilde{z} =(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=(x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)=0+0=0$,
e analogamente
$\tilde{x} + 2\tilde{y} + 4\tilde{z}=0$.
Quindi $w=w_1+w_2\in W$.
In modo simile si dimostra che $\lambda w\in W$ per ogni $\lambda\in\mathbb{R}$ e per ogni $w\in W$, quindi $W$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^3$.

La dimensione del sottospazio è la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema
$x+y+z = 0$
$x + 2y + 4z=0$

[tokask]

Grazie, adesso è più chiaro in particolar modo il metodo per stabilire la dimensione del sottospazio vettoriale.
Non è altro che la retta generata dall'intersezione dei due piani assegnati e quindi dim=1.
Giusto ?

[billyballo2123]

Giusto