Esercizio sottospazi vettoriali
Ciao a tutti. Ho qui un esercizio che non riesco proprio a capire come si svolge...
punto1.
Denotiamo con deg p(x) il grado di un polinomio, ponendo, nel caso del polinomio nullo 0, deg 0 = $-\infty$. Sia poi $d \geq 1$ un intero; l'insieme di polinomi
$ W= {p(x) \in R[x] | deg p(x) = d \vee deg p(x) = -\infty}$
è un sottospazio di R[x]?
punto 2.
presi i due seguenti sottospazi di R[x] stabilire se la loro somma è diretta:
$ W1 = {p(x) \in R[x] | p(1)=0}$, $ W2 = {p(x) \in R[x] | p(2)=0}$
punto 3.
Con riferimento ai sottospazi del punto precedente, stabilire se W1 + W2 = R[x].
Io sono riuscito a fare qualcosa sul punto 1 ma nulla di più:
intanto ho detto che sicuramente il polinomio nullo 0 appartiene a W.
poi ho preso due scalari h,k e due polinomi p(x) e q(x) e, sapendo che il polinomio
$h*p(x) + k*q(x) \in W$
solo se ha grado nullo o pari a d, ho considerato i vari casi tipo
- scalari e polinomi nulli
- scalari nulli e polinomi non nulli
- scalari non nulli e polinomi nulli
- scalari e polinomi non nulli
l'ultimo caso credo sia l'unico che ha qualcosa da dire, ma non riesco a venirne fuori. per i punti 2 e 3 non so proprio cosa pensare.
punto1.
Denotiamo con deg p(x) il grado di un polinomio, ponendo, nel caso del polinomio nullo 0, deg 0 = $-\infty$. Sia poi $d \geq 1$ un intero; l'insieme di polinomi
$ W= {p(x) \in R[x] | deg p(x) = d \vee deg p(x) = -\infty}$
è un sottospazio di R[x]?
punto 2.
presi i due seguenti sottospazi di R[x] stabilire se la loro somma è diretta:
$ W1 = {p(x) \in R[x] | p(1)=0}$, $ W2 = {p(x) \in R[x] | p(2)=0}$
punto 3.
Con riferimento ai sottospazi del punto precedente, stabilire se W1 + W2 = R[x].
Io sono riuscito a fare qualcosa sul punto 1 ma nulla di più:
intanto ho detto che sicuramente il polinomio nullo 0 appartiene a W.
poi ho preso due scalari h,k e due polinomi p(x) e q(x) e, sapendo che il polinomio
$h*p(x) + k*q(x) \in W$
solo se ha grado nullo o pari a d, ho considerato i vari casi tipo
- scalari e polinomi nulli
- scalari nulli e polinomi non nulli
- scalari non nulli e polinomi nulli
- scalari e polinomi non nulli
l'ultimo caso credo sia l'unico che ha qualcosa da dire, ma non riesco a venirne fuori. per i punti 2 e 3 non so proprio cosa pensare.
Risposte
In pratica $W_d := {p(x) \in RR[x] | text{deg} (p(x)) = d } uu {0}$
Presi $p_1(x):= x^d +x^(d-1)$ e $p_2(x):= -x^d$, si ha banalmente che $p_1(x), p_2(x) in W_d$.
Ma $p_1(x)+p_2(x)= x^(d-1)$, dunque $p_1(x)+p_2(x) notin W_d$.
Cosa ci dice questo?
Presi $p_1(x):= x^d +x^(d-1)$ e $p_2(x):= -x^d$, si ha banalmente che $p_1(x), p_2(x) in W_d$.
Ma $p_1(x)+p_2(x)= x^(d-1)$, dunque $p_1(x)+p_2(x) notin W_d$.
Cosa ci dice questo?
direi che la risposta al punto 1 è no.
ma per il punto 2 sono sempre in alto mare...
e a dire il vero non avrei mai pensato al ragionamento che hai fatto tu qui sopra, anche se è davvero molto semplice da capire...
ma per il punto 2 sono sempre in alto mare...
e a dire il vero non avrei mai pensato al ragionamento che hai fatto tu qui sopra, anche se è davvero molto semplice da capire...
Per il punto 2 ragiona così: ci sono polinomi (non nulli) che stanno sia in $W_1$ che in $W_2$?
Se sì, allora la somma $W_1 +W_2$ non è diretta.
Se sì, allora la somma $W_1 +W_2$ non è diretta.
quindi se prendo per esempio il polinomio dato da (x-1)*(x-2) e vedo che non è nullo posso dire che tale somma non è diretta?
edit: e il terzo? cioè mi chiede se la somma di quei due W è esattamente uguale a R[x]. Come si dimostra una cosa del genere? (forse ho ingigantito un po' la cosa, è che ne capisco poco)
edit: e il terzo? cioè mi chiede se la somma di quei due W è esattamente uguale a R[x]. Come si dimostra una cosa del genere? (forse ho ingigantito un po' la cosa, è che ne capisco poco)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo