Esercizio Sottospazi

[Dalfi1]

salve ragazzi...mi servirebbe qualche consiglio per venire a capo di questo esercizio

Si considerino i sottospazi
U= $ (: ( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) . ,( ( 0 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) .,( ( 2 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ):) $

V= $ (: ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ) ) ., ( ( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ):) $

Determinare la dimensione ed una base di U \ V e la dimensione di U + V .

ho provato a calcolarmi le equazioni dei due sottospazi considerando la matrice generica di U e vedendola come combinazione lineare delle generatrici (stesso discorso fatto per V), per poi metterle a sistema e determinarmi l'intersezione ma non riesco a venirne a capo


La seconda parte poi non riesco proprio a capire come farla

Considerata l'applicazione lineare
F : U $ rarr $ V
tale che

F $ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) = ( ( 2 , 1 , 1 ),( 0 , 3 , 1 ) ) $
F $ ( ( 0 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) = ( ( 4 , 2 , 2 ),( 0 , 6 , 2 ) ) $
F $ ( ( 2 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) = ( ( 1 , 1/2 , 1/2 ),( 0 , 3/2 , 1/2 ) ) $

si determini una base di Ker(F)

anche in questo caso faccio fatica a calcolarmi l'equazione della F

so che probabilmente l'esercizio è abbastanza banale ma oggi proprio non ci arrivo -.-

[Sk_Anonymous]

Puoi procedere in questo modo:

$\{(A_1=((1,0,1),(0,1,0))),(A_2=((0,0,-1),(0,1,0))),(A_3=((2,0,1),(0,1,0))):} rarr [A=x_1A_1+x_2A_2+x_3A_3]$

$\{(B_1=((2,0,0),(0,2,0))),(B_2=((0,1,1),(0,1,1))):} rarr [B=y_1B_1+y_2B_2]$

$\{(F(A_1)=B_1+B_2),(F(A_2)=2B_1+2B_2),(F(A_3)=1/2B_1+1/2B_2):} rarr ((1,2,1/2),(1,2,1/2))((x_1),(x_2),(x_3))=((y_1),(y_2))$

L'equazione cartesiana del nucleo risulta essere:

$((1,2,1/2),(1,2,1/2))((x_1),(x_2),(x_3))=((0),(0)) rarr [x_1+2x_2+1/2x_3=0] rarr [x_3=-2x_1-4x_2]$

Il nucleo ha dimensione $[2]$ e due matrici che ne costituiscono una base si ottengono, per esempio, prendendo le seguenti componenti:

$((x_1),(x_2),(x_3))=((1),(0),(-2)) ^^ ((x_1),(x_2),(x_3))=((0),(1),(-4))$

In definitiva, due possibili matrici che costituiscono una base del nucleo sono:

$K_1=1*((1,0,1),(0,1,0))+0*((0,0,-1),(0,1,0))-2*((2,0,1),(0,1,0)) rarr K_1=((-3,0,-1),(0,-1,0))$

$K_2=0*((1,0,1),(0,1,0))+1*((0,0,-1),(0,1,0))-4*((2,0,1),(0,1,0)) rarr K_2=((-8,0,-5),(0,-3,0))$

[Dalfi1]

grazie mille...ragazzi le equazioni di U e V invece come le trovo?