Esercizio Sistema Di Generatori
Ciao ragazzi,avrei bisogno di aiuto per questo esercizio,grazie in anticipo a chiunque risponda.
1. a) Per quali valori di k i vettori x1=(-6,K) x2=(-K,1) x3=(3,-1)
costituiscono una base di R^2?
b) Per quali valori di k costituiscono un sistema di generatori di R^2?
Il punto a) lo dovrei aver fatto: visto che sono 3 vettori in R^2 per nessun valore di k costituiscono una base di R^2.
Per il punto b) so che devo vedere il rango della matrice e per essere un sistema di generatori il rango deve essere 2 visto che siamo in R^2,ma come faccio?Come detto prima almeno 2 dei vettori sono linearmente dipendenti,ma facendo il calcolo del determinante per ogni coppia di vettori mi viene per x1 e x2 k=+-radice6,per x1 e x3 k=2 e per x2 e 3x3 k=3,quindi quando k è uguale a uno di questi valori i due vettori corrispondenti sono lineamrnete dipendenti e visto che non ci sono soluzioni di k uguali il rango è sempre 2 quindi è un sistema di generatori per ogni valore di k...giusto?
Lo so che ho scritto male e magari si capisce poco,scusatemi in anticipo
1. a) Per quali valori di k i vettori x1=(-6,K) x2=(-K,1) x3=(3,-1)
costituiscono una base di R^2?
b) Per quali valori di k costituiscono un sistema di generatori di R^2?
Il punto a) lo dovrei aver fatto: visto che sono 3 vettori in R^2 per nessun valore di k costituiscono una base di R^2.
Per il punto b) so che devo vedere il rango della matrice e per essere un sistema di generatori il rango deve essere 2 visto che siamo in R^2,ma come faccio?Come detto prima almeno 2 dei vettori sono linearmente dipendenti,ma facendo il calcolo del determinante per ogni coppia di vettori mi viene per x1 e x2 k=+-radice6,per x1 e x3 k=2 e per x2 e 3x3 k=3,quindi quando k è uguale a uno di questi valori i due vettori corrispondenti sono lineamrnete dipendenti e visto che non ci sono soluzioni di k uguali il rango è sempre 2 quindi è un sistema di generatori per ogni valore di k...giusto?
Lo so che ho scritto male e magari si capisce poco,scusatemi in anticipo
Risposte
a) Giusto, sono tre vettori in $RR^2$ e quindi non possono mai essere una base di $RR^2$
b) Affinché la matrice abbia rango $2$ è sufficiente che "almeno" un minore di ordine $2$ abbia determinante non nullo.
Nel tuo caso hai: o $ k!=+-sqrt(6)$ o $k!=2$ o $k!=3$, ossia per ogni $k$
b) Affinché la matrice abbia rango $2$ è sufficiente che "almeno" un minore di ordine $2$ abbia determinante non nullo.
Nel tuo caso hai: o $ k!=+-sqrt(6)$ o $k!=2$ o $k!=3$, ossia per ogni $k$
Prima di tutto grazie per la pronta risposta Vulplasir.
Ma per quanto riguarda il punto b,non si devono considerare anche i minori di ordine k+1,qundi 3 in questo caso,i quali devono essere nulli?O visto che in questo caso non è possibile questo non si applica?
Ma per quanto riguarda il punto b,non si devono considerare anche i minori di ordine k+1,qundi 3 in questo caso,i quali devono essere nulli?O visto che in questo caso non è possibile questo non si applica?
E quali sarebbero i minori di ordine $3$ in una matrice $3 xx 2$ ? 
Se i vettori sono in $RR^2$, allora la matrice sarà del tipo $2 xx k$ oppure $k xx 2$, ossia ci possono essere solo minori di ordine $1$ o $2$
Si mi sono perso in un bicchiere d'acqua 
Grazie ancora per le risposte,gentilissimo
Grazie ancora per le risposte,gentilissimo
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