Esercizio simpatico di algebra lineare

[Dorian1]

Sia:

$A=((2, 1, 1),(0, 2, 5),(0, 0, -3))$

dimostrare che:

$A^-1=(A^2-A-8id)/-12$

senza fare troppi calcoli!

P.S.: $8id=((8, 0, 0),(0, 8, 0),(0, 0, 8))$...

[Dorian1]

Nessuno vuole cimentarsi?

Suggerimento: si pensi al teorema di Hamilton-Cayley...

[Fioravante Patrone1]

Riapro il thread, che avevo bloccato per un "up" troppo affrettato.

[franced]

"Dorian":Sia:

$A=((2, 1, 1),(0, 2, 5),(0, 0, -3))$

Se sfrutti il teorema di Hamilton-Cayley trovi una formula per l'inversa di $A$.

Il polinomio caratteristico è

$p(\lambda) = (2-\lambda)^2 \cdot (-3-\lambda)$

quindi dal teorema citato si ha:

$(2-A)^2 \cdot (-3-A) = 0$

Basta sviluppare:

$-12 I + 8 A + A^2 - A^3 = 0$

visto che $det(A) \ne 0$ possiamo dividere tutto per $A$ (oppure,
se preferite, moltiplicare per $A^(-1)$):

$-12 A^(-1) + 8 I + A - A^2 = 0$

Basta risolvere rispetto a $A^(-1)$ ed ottieni il risultato:

$A^(-1) = (-8 I - A + A^2)/(-12)$

[Dorian1]

Si, è proprio ciò che intendevo!
Peccato però che la scrittura polinomiale non semplifichi (di solito) il calcolo dell'inversa... Ci vuole meno tempo (e questo è tutto dire...) con il calcolo dei complementi algebrici!

[franced]

"Dorian":Si, è proprio ciò che intendevo!
Peccato però che la scrittura polinomiale non semplifichi (di solito) il calcolo dell'inversa... Ci vuole meno tempo (e questo è tutto dire...) con il calcolo dei complementi algebrici!

Il calcolo dell'inversa può essere fatto in tanti modi.

L'esercizio da te proposto è puramente teorico.

[Dorian1]

"franced":[quote="Dorian"]Si, è proprio ciò che intendevo!
Peccato però che la scrittura polinomiale non semplifichi (di solito) il calcolo dell'inversa... Ci vuole meno tempo (e questo è tutto dire...) con il calcolo dei complementi algebrici!

Il calcolo dell'inversa può essere fatto in tanti modi.

L'esercizio da te proposto è puramente teorico.[/quote]

Si, non è niente più che un'osservazione curiosa... Proprio per il motivo che dicevo prima...

[franced]

"Dorian":[quote="franced"][quote="Dorian"]Si, è proprio ciò che intendevo!
Peccato però che la scrittura polinomiale non semplifichi (di solito) il calcolo dell'inversa... Ci vuole meno tempo (e questo è tutto dire...) con il calcolo dei complementi algebrici!

Il calcolo dell'inversa può essere fatto in tanti modi.

L'esercizio da te proposto è puramente teorico.[/quote]

Si, non è niente più che un'osservazione curiosa... Proprio per il motivo che dicevo prima...[/quote]


Questo metodo è riportato anche sul mitico libro "Fondamenti di calcolo numerico" di
Demidovic - Maron (edizioni MIR).

Ne ho una trentina, sono un collezionista di questi libri..