Esercizio scemo su sistema lineare
Devo discutere la solita risolubilita' del sistema lineare \( \Sigma_k \), ma solo ora --facendo esercizi-- mi accorgo giorno dopo giorno di quanto sia una pippa.
Il sistema \( \Sigma_k \) e' il seguente
\[ \Sigma_k = \begin{cases} x_1 + x_2 + 2 x_3 + x_4 = -1 \\ 2 x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 1 \\ k x_1 + k x_3 + 2 x_4 = 0 \\ -3k x_1 + 6 x_2 + (3k -1) x_4 = 0 \end{cases} \]
Quando non devo avere a che fare io con i calcoli mi verrebbe spontaneo da consigliare Rouche'-Capelli --e' perfetto per situazioni come queste.
In questo caso, quando il determinante della matrice dei coefficienti e' non nullo, sono certo che una soluzione esiste ed e' unica (le colonne della mat. dei coefficienti generano tutto lo spazio \( \mathbb{R}^4 \)) --altrimenti ...etc. Ma adesso, calcolarmi il determinante di
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ k & 0 & k & 2 \\ -3k & 6 & 0 & 3k -1 \end{bmatrix} \]
mi fa andare in crisi.
Okok, dovro' farlo. E appena finisco di scrivere questo messaggio provo a smanettare su quella matrice.
Ma non e' che qualcuno mi fa una sorpresa quando torno a controllare il forum?...
Quello che sto chiedendo e': non e' che ci sono strade davvero piu' pratiche di R.Capelli?
Ringrazio,
Giuseppe
Il sistema \( \Sigma_k \) e' il seguente
\[ \Sigma_k = \begin{cases} x_1 + x_2 + 2 x_3 + x_4 = -1 \\ 2 x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 1 \\ k x_1 + k x_3 + 2 x_4 = 0 \\ -3k x_1 + 6 x_2 + (3k -1) x_4 = 0 \end{cases} \]
Quando non devo avere a che fare io con i calcoli mi verrebbe spontaneo da consigliare Rouche'-Capelli --e' perfetto per situazioni come queste.
In questo caso, quando il determinante della matrice dei coefficienti e' non nullo, sono certo che una soluzione esiste ed e' unica (le colonne della mat. dei coefficienti generano tutto lo spazio \( \mathbb{R}^4 \)) --altrimenti ...etc. Ma adesso, calcolarmi il determinante di
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ k & 0 & k & 2 \\ -3k & 6 & 0 & 3k -1 \end{bmatrix} \]
mi fa andare in crisi.
Okok, dovro' farlo. E appena finisco di scrivere questo messaggio provo a smanettare su quella matrice.
Ma non e' che qualcuno mi fa una sorpresa quando torno a controllare il forum?...
Quello che sto chiedendo e': non e' che ci sono strade davvero piu' pratiche di R.Capelli?
Ringrazio,
Giuseppe
Risposte
Scusa ma l'eliminazione di Gauss? Non l'avete fatta? Anche a me fa spavento quel determinante
"gabriella127":
Scusa ma l'eliminazione di Gauss? Non l'avete fatta? Anche a me fa spavento quel determinante
Partire subito con l'eliminazione di Gauss ...? Mi sembra proprio una brutta idea
E' colpa di tutti quei \( k \) che non si risolvono. Mi faresti ricredere?Io intanto sono andato di forza bruta e mi sono calcolato il determinante a mano. Ho trovato che per
\[ k \not\in \{ 2, 3, 0 \} \]
il determinante e' non nullo; quindi esiste ed e' unica la soluzione del sistema lineare.
Poi: per \( k \equiv 2, \, \equiv 0 \) non ho soluzione, mentre per \( k \equiv 0 \) ho \( \infty^1 \) soluzioni costruite come
\[ \mathbf{s} = \begin{bmatrix} -2 + \frac{10}{3} \, p \\ -3 + \frac{11}{3} \, p \\ 2 - 4 \, p \\ p \end{bmatrix} \qquad p \in \mathbb{R} \]
Se qualcuno vuole provare --ma non ci spero: la cosa non e' particolarmente esaltante, lo riconosco.
Mi pare funzioni, anche se il carico di conti mi sembra eccessivo ...
Partire subito con l'eliminazione di Gauss ...? Mi sembra proprio una brutta idea E' colpa di tutti quei \( k \) che non si risolvono. Mi faresti ricredere?
Perché no? Mah, i calcoli con una matrice 4x4 e i k sono sempre scoccianti. Che intendi dire che i k non si risolvono? Però l'eliminazione di Gauss in genere è più snella, questo tipo di esercizi in genere li ho visti fare con quella. Anche se è passato diverso tempo da quando ho fatto questi esercizi, se ho un attimo di tempo cerco di farlo.
E' colpa di tutti quei \( k \) che non si risolvono. Mi faresti ricredere?Perché no? Mah, i calcoli con una matrice 4x4 e i k sono sempre scoccianti. Che intendi dire che i k non si risolvono? Però l'eliminazione di Gauss in genere è più snella, questo tipo di esercizi in genere li ho visti fare con quella. Anche se è passato diverso tempo da quando ho fatto questi esercizi, se ho un attimo di tempo cerco di farlo.
Ho riguardato un po' sul mio libro, con Gauss ti eviti una mattonata di calcoli a rischio errori, quando uno si è abituato all'eliminazione di Gauss gli altri metodi sembrano arnesi antichi come l'aratro... 
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