Esercizio riguardante i sottospazi vettoriali
Ciao a tutti, qualcuno è talmente cortese da risolvere il seguente esercizio?
- Denotiamo con $ RR [x]leq3 $ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado $ leq3 $ . Per ogni $ c in R $ sia $ Vc={p(x) in R[x]leq3 | p(c + 1) = c^2 - 1 } $ .
a) Determinare per quali valori di "c" il sottoinsieme Vc è un sottospazio vettoriale di $ RR [x]leq3 $;
b) Per i valori trovati, determinare la dimensione di Vc ed una sua base.
E' la prima volta che eseguo un esercizio del genere e non ho idea da dove cominciare e come svolgerlo esattamente.. so che un sottospazio richiede tre condizioni, ovvero l'appartenenza del vettore nullo e la chiusura rispetto alle proprietà della somma e del prodotto per scalari.
- Denotiamo con $ RR [x]leq3 $ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado $ leq3 $ . Per ogni $ c in R $ sia $ Vc={p(x) in R[x]leq3 | p(c + 1) = c^2 - 1 } $ .
a) Determinare per quali valori di "c" il sottoinsieme Vc è un sottospazio vettoriale di $ RR [x]leq3 $;
b) Per i valori trovati, determinare la dimensione di Vc ed una sua base.
E' la prima volta che eseguo un esercizio del genere e non ho idea da dove cominciare e come svolgerlo esattamente.. so che un sottospazio richiede tre condizioni, ovvero l'appartenenza del vettore nullo e la chiusura rispetto alle proprietà della somma e del prodotto per scalari.
Risposte
Ciao e benvenuta nel forum 
Partiamo dalla a). Hai detto che se $V_c$ è un sottospazio, allora come minimo il vettore nullo deve appartenervi.
Quali sono i valori di $c$ per cui il vettore nullo (cioè il polinomio nullo) appartiene a $V_c$?
Se il polinomio nullo $p(x)=0$ appartiene a $V_c$, allora, dalla definizione di $V_c$, si ha che $p(c+1)=c^2-1$.
Quindi $c=....$?
Partiamo dalla a). Hai detto che se $V_c$ è un sottospazio, allora come minimo il vettore nullo deve appartenervi.
Quali sono i valori di $c$ per cui il vettore nullo (cioè il polinomio nullo) appartiene a $V_c$?
Se il polinomio nullo $p(x)=0$ appartiene a $V_c$, allora, dalla definizione di $V_c$, si ha che $p(c+1)=c^2-1$.
Quindi $c=....$?
$c = 1$ e $c = -1$ ? Tutto qui? 
No, questi sono i due "candidati".
Sicuramente per $c!=pm1$ $V_c$ non è un sottospazio perchè il vettore nullo non vi appartiene.
Ora devi verificare se per $c=1$ sono verificate le altre due proprietà di sottospazio. Se sì, $V_1$ è sottospazio, altrimenti no.
E poi la stessa cosa con $c=-1$.
E questo conclude il punto a).
Sicuramente per $c!=pm1$ $V_c$ non è un sottospazio perchè il vettore nullo non vi appartiene.
Ora devi verificare se per $c=1$ sono verificate le altre due proprietà di sottospazio. Se sì, $V_1$ è sottospazio, altrimenti no.
E poi la stessa cosa con $c=-1$.
E questo conclude il punto a).
Ok, chiaro.
Ora dovrei verificare se per $c=+1$ (e poi l'altra) siano vere; $p(c+1) + p(c+1) = c^2-1 + c^2-1$ e $2p(c+1)=2(c^2-1)$ ??
Questa parte non la capisco molto, a me sembra che siano verificate per definizione..
Ora dovrei verificare se per $c=+1$ (e poi l'altra) siano vere; $p(c+1) + p(c+1) = c^2-1 + c^2-1$ e $2p(c+1)=2(c^2-1)$ ??
Questa parte non la capisco molto, a me sembra che siano verificate per definizione..
Puoi scrivermi le altre due proprietà che devi provare?
Procedo copia incollando da Wikipedia:
1. se u e v sono elementi di W, allora anche la loro somma u + v è un elemento di W;
2. se u è un elemento di W e λ è uno scalare in K, allora il prodotto λu è un elemento di W.
Quindi ad esempio; $p(c+1)+p(c-1)=c^2 -1 +c^2 -1$ .... e $p(c+1)p(c-1)=(c^2 -1)(c^2 -1)$ ?
1. se u e v sono elementi di W, allora anche la loro somma u + v è un elemento di W;
2. se u è un elemento di W e λ è uno scalare in K, allora il prodotto λu è un elemento di W.
Quindi ad esempio; $p(c+1)+p(c-1)=c^2 -1 +c^2 -1$ .... e $p(c+1)p(c-1)=(c^2 -1)(c^2 -1)$ ?
"Sakineh":
1. se u e v sono elementi di W, allora anche la loro somma u + v è un elemento di W;
2. se u è un elemento di W e λ è uno scalare in K, allora il prodotto λu è un elemento di W.
Tradotto in questo caso, devi provare che
1) se $p(x)$ e $q(x)$ sono in $V_1$ allora anche $p(x)+q(x)$ è in $V_1$
2) se $p(x)$ è in $V_1$ e se $\lambda\in RR$, allora $\lambda p(x)$ è in $V_1$
Ma non è scontato? Puoi farmi vedere il procedimento?
Già, è scontato ma non l'hai mostrato.
Allora, per definizione, $V_1={p(x)\in RR_3[x]: p(2)=0}$.
Scelti due qualsiasi elementi $p(x),q(x)\in V_1$, si ha che
$p(2)+q(2)=0+0=0$
E quindi anche $p(x)+q(x)\in V_1$.
Se $p(x)\in V_1$ e $\lambda\in RR$, si ha che
$\lambda p(2)=\lambda 0=0$
E quindi anche $\lambda p(x)\in V_1$.
Allora, per definizione, $V_1={p(x)\in RR_3[x]: p(2)=0}$.
Scelti due qualsiasi elementi $p(x),q(x)\in V_1$, si ha che
$p(2)+q(2)=0+0=0$
E quindi anche $p(x)+q(x)\in V_1$.
Se $p(x)\in V_1$ e $\lambda\in RR$, si ha che
$\lambda p(2)=\lambda 0=0$
E quindi anche $\lambda p(x)\in V_1$.
Grazie. 
La dimensione è chiaramente 3, ma come si completa la base?
La dimensione è chiaramente 3, ma come si completa la base?
Prendi un polinomio generico in $RR_3[x]$ e imponi che appartenga a $V_1$.
Otterrai l'espressione del generico polinomio di $V_1$ da cui potrai ottenere una base.
Otterrai l'espressione del generico polinomio di $V_1$ da cui potrai ottenere una base.
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