Esercizio - Rette ortogonali e incidenza
Si chiede, date due rette $r, r'$ in $\mathbb{E}^3$ (in cui è fissato un riferimento ortonormale) di equazioni
$r \{(x + y - z = 1),(2x + y + z = 0):}$
$r' \{(x + y - 1 = 0),(z=1):}$
di determinare una retta $s$ tale che $r \bot s$ e $r' \bot s$.
Svolgimento:
1) Poiché $s$ deve essere ortogonale ad ambedue le rette date, la sua giacitura $T(s)$ deve essere l'intersezione dell'ortogonale delle due giaciture $T(r)$ e $T(r')$, cioè $T(s) = T(s)^\bot nn T(s)^\bot$, il quale è un sottospazio vettoriale di dimensione 1. Si trova: $T(s)^\bot = <(1,1,-1),(2,1,1)>$ e $T(s)^\bot = <(1,1,0),(0,0,1)>$ e, ad occhio, $T(s) = <(1, 1, -1)>$.
2) Troviamo $P$ tale che $s : P + <(1,1,-1)>$ intersechi le rette $r, r'$. $s$ sarà del tipo:
$s \{(x = x_0 + t),(y = y_0 + t),(z = z_0 - t):}$
$r' : (1,0,-1) + <(1,-1,0)>$ e $s : P + <(1,1,-1)>$. Allora $r' nn s \ne \emptyset$ se e solo se $P-(1,0,-1) \in T(r') + T(s) = <(1,-1,0),(1,-1,0)>$.
$T(r') + T(s)$ ha equazione $x + y + 2z = 0$. Imponendo $P-(1,0,-1) \in T(r') + T(s)$, cioè $x_0 + y_0 + 2 z_0 - 3 = 0$ che è un piano affine.
Analogamente, usando il fatto che $r nn s \ne \emptyset$, si ottiene un'altra equazione di un piano affine $\pi$ (che lega $x_0 , y_0 , z_0$).
Allora $s \{(x_0 + y_0 + 2 z_0 - 3 = 0),(\pi):}$ e questo conclude l'esercizio.
Non ho esplicitato gli ultimi conti, ma come idea può andare?
$r \{(x + y - z = 1),(2x + y + z = 0):}$
$r' \{(x + y - 1 = 0),(z=1):}$
di determinare una retta $s$ tale che $r \bot s$ e $r' \bot s$.
Svolgimento:
1) Poiché $s$ deve essere ortogonale ad ambedue le rette date, la sua giacitura $T(s)$ deve essere l'intersezione dell'ortogonale delle due giaciture $T(r)$ e $T(r')$, cioè $T(s) = T(s)^\bot nn T(s)^\bot$, il quale è un sottospazio vettoriale di dimensione 1. Si trova: $T(s)^\bot = <(1,1,-1),(2,1,1)>$ e $T(s)^\bot = <(1,1,0),(0,0,1)>$ e, ad occhio, $T(s) = <(1, 1, -1)>$.
2) Troviamo $P$ tale che $s : P + <(1,1,-1)>$ intersechi le rette $r, r'$. $s$ sarà del tipo:
$s \{(x = x_0 + t),(y = y_0 + t),(z = z_0 - t):}$
$r' : (1,0,-1) + <(1,-1,0)>$ e $s : P + <(1,1,-1)>$. Allora $r' nn s \ne \emptyset$ se e solo se $P-(1,0,-1) \in T(r') + T(s) = <(1,-1,0),(1,-1,0)>$.
$T(r') + T(s)$ ha equazione $x + y + 2z = 0$. Imponendo $P-(1,0,-1) \in T(r') + T(s)$, cioè $x_0 + y_0 + 2 z_0 - 3 = 0$ che è un piano affine.
Analogamente, usando il fatto che $r nn s \ne \emptyset$, si ottiene un'altra equazione di un piano affine $\pi$ (che lega $x_0 , y_0 , z_0$).
Allora $s \{(x_0 + y_0 + 2 z_0 - 3 = 0),(\pi):}$ e questo conclude l'esercizio.
Non ho esplicitato gli ultimi conti, ma come idea può andare?
Risposte
Direi proprio di si...
Grazie Quinzio...
Ripropongo un quesito banale... Devo determinare le bisettrici degli angoli formati dalle due rette $r_1 , r_2$ incidenti in $O(0,0,0)$ nel piano delle due rette date.
Chiamo $v, w$ le direzioni delle due rette e $P(x_1,x_2,x_3)$ un generico punto di una bisettrice. Se non vedo male, la condizione $< P , v > =
Chiamo $v, w$ le direzioni delle due rette e $P(x_1,x_2,x_3)$ un generico punto di una bisettrice. Se non vedo male, la condizione $< P , v > =
$ mi dà luogo ad un piano vettoriale $\alpha$, che è proprio un piano ortogonale al piano $\pi$ in cui vivono le due rette $r_1 , r_2$ (e anche la bisettrice). Quindi la bisettrice è $b \{( \pi),(\alpha):}$ . Dico bene?
EDIT: Manca però la seconda bisettrice. Penso che correggendo l'equazione con dei valori assoluti $|< P , v >| = |
|$ le cose tornino... Cosa dite?
Mah, non è che sia proprio banale, come quesito. TI dico come farei io, anche se non è la soluzione ottimale perché potresti doverti portare in giro delle radici brutte. Siano \(\displaystyle v \) e \(\displaystyle w \) i vettori direttori delle due rette in questione; esse formano un angolo \(\displaystyle \theta \) t.c. \(\displaystyle \cos \theta=\frac{|v \cdot w|}{\left \| v \right \| \left \|w \right \|} \). Il vettore direttore della bisettrice è un vettore \(\displaystyle z \) appartenente al piano delle due rette in questione e t.c. \(\displaystyle \frac{| z \cdot v|}{\left \| z \right \| \left \|v \right \|}=\frac{| z \cdot w|}{\left \| z \right \| \left \|w \right \|}=\cos \frac{\theta}{2} \). L'altra bisettrice la trovi considerando l'altro angolo formato.
Probabilissimo limite mio, ma non sono ben riuscito capire la tua costruzione.
Probabilissimo limite mio, ma non sono ben riuscito capire la tua costruzione.
Ti ringrazio della tua esposizione; dopo la leggo con calma. Per ora sono interessato a capire se la mia costruzione funziona.
Siano $r_1 , r_2$ sono incidenti in $O$. Consideriamo un punto $P$ su una delle due bisettrici e chiamo $PQ$ e $PR$ le proiezioni del vettore $OP$ sulle due rette $r_1$ ed $r_2$. Usando il teorema di Pitagora:
$||PQ||^2 = ||OP||^2 - {< OP , v >}^2$ ove $v$ è la direzione di $r_1$
$||PR||^2 = ||OP||^2 - {< OP , w >}^2$ , $w$ la direzione di $r_2$.
Allora $||OP||^2 - {< OP , v >}^2 = ||OP||^2 - {< OP , w >}^2$ da cui ${< OP , v >}^2 = {< OP , w >}^2$ ovvero $|< OP , v >| = |< OP , w >|$ che è piuttosto facile da studiare...
Siano $r_1 , r_2$ sono incidenti in $O$. Consideriamo un punto $P$ su una delle due bisettrici e chiamo $PQ$ e $PR$ le proiezioni del vettore $OP$ sulle due rette $r_1$ ed $r_2$. Usando il teorema di Pitagora:
$||PQ||^2 = ||OP||^2 - {< OP , v >}^2$ ove $v$ è la direzione di $r_1$
$||PR||^2 = ||OP||^2 - {< OP , w >}^2$ , $w$ la direzione di $r_2$.
Allora $||OP||^2 - {< OP , v >}^2 = ||OP||^2 - {< OP , w >}^2$ da cui ${< OP , v >}^2 = {< OP , w >}^2$ ovvero $|< OP , v >| = |< OP , w >|$ che è piuttosto facile da studiare...
Questa
è la distanza del generico punto della bisettrice da una delle due rette?
Se sì mi pare che il tuo ragionamento fili. In pratica hai sfruttato la definizione di bisettrice; ovviamente poi ricordati di porre \(\displaystyle P \in \text{piano nel quale giacciono le due rette} \).
"Seneca":
[...]
${< OP , v >}^2$
[...]
è la distanza del generico punto della bisettrice da una delle due rette?
Se sì mi pare che il tuo ragionamento fili. In pratica hai sfruttato la definizione di bisettrice; ovviamente poi ricordati di porre \(\displaystyle P \in \text{piano nel quale giacciono le due rette} \).
No... Se l'angolo corrispondente alla bisettrice che considero è acuto, quello è il quadrato di $||OQ||$, cioè della proiezione di $OP$ sulla retta di direzione $v$...
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