Esercizio - Rette in $\mathbb{E}^3$, dimostrazione
Devo dimostrare che, date due rette sghembe $r, r'$ in $\mathbb{E}^3$, esiste ed è unica una retta $s$ intersecante $r, r'$ e tale che sia ortogonale a queste due rette date.
Considero $r, r'$ rette sghembe in $\mathbb{E}^3$, $r = R + T(r)$ e $r' = R' + T(r')$. $T(r) \cap T(r') = \{\bb{0}\}$ allora considero $T(r)^\bot$ e $T(r')^\bot$, entrambi sottospazi vettoriali di dimensione $2$.
$T(r)^\bot \cap T(r')^\bot = X$, $\dim(X) = \dim(T(r)^\bot) + \dim(T(r')^\bot) - \dim(T(r)^\bot + T(r')^\bot) = 2 + 2 - 3 = 1$.
Quindi $s$ sarà del tipo $P + X$. Devo provare che esiste $P \in \mathbb{E}^3$ tale che $\vec{PR}$ e $\vec{PR'}$ appartengano a $X + T(r)$ e $X + T(r')$ rispettivamente (questo garantisce che $s$ intersechi $r,r'$).
Come si potrebbe mostrare questo, ammesso che quanto ho scritto vada bene?
Considero $r, r'$ rette sghembe in $\mathbb{E}^3$, $r = R + T(r)$ e $r' = R' + T(r')$. $T(r) \cap T(r') = \{\bb{0}\}$ allora considero $T(r)^\bot$ e $T(r')^\bot$, entrambi sottospazi vettoriali di dimensione $2$.
$T(r)^\bot \cap T(r')^\bot = X$, $\dim(X) = \dim(T(r)^\bot) + \dim(T(r')^\bot) - \dim(T(r)^\bot + T(r')^\bot) = 2 + 2 - 3 = 1$.
Quindi $s$ sarà del tipo $P + X$. Devo provare che esiste $P \in \mathbb{E}^3$ tale che $\vec{PR}$ e $\vec{PR'}$ appartengano a $X + T(r)$ e $X + T(r')$ rispettivamente (questo garantisce che $s$ intersechi $r,r'$).
Come si potrebbe mostrare questo, ammesso che quanto ho scritto vada bene?
Risposte
Premetto che non ho fatto un corso di geometria affine; premetto anche che considerata l'ora quel che dirò dovrò essere preso come un'idea buttata lì [o come una battuta, se dirò un grosso strafalcione!].
Devi trovare il vettore \(\vec{PQ}\) ortogonale alle due rette \(r, r'\), con \(P \in r, Q \in r'\). Fatto questo potrai concludere il tuo ragionamento aggiungendo ad \(X\) il vettore \(\vec{OP}\).
Puoi fare la proiezione ortogonale di un punto su una retta? Spero di sì, altrimenti quello che sto per dire è tutto da buttare via.
Se puoi fare una proiezione, allora definisco la mappa \(\varphi : r \to r\) come la composizione della proiezione ortogonale di un punto \(S \in r\) su \(r'\) [in questo modo si ottiene il punto \(S'\)] con la proiezione ortogonale di un punto \(S' \in r'\) su \(r\).
Se ho scritto in maniera comprensibile la definizione di \(\varphi\), allora dovrebbe essere chiaro che trovare il vettore \(\vec{PQ}\) equivale a trovare un punto fisso della mappa \(\varphi\).
A questo punto immagino si sia capito dove voglio arrivare: \(\mathbb{E}^3\) è uno spazio euclideo, quindi ha abbastanza struttura per farci una metrica, e ad occhio non sembra troppo difficile far vedere [giocando con le proprietà della proiezione ortogonale] che \(\varphi\) è una contrazione.
I signori Banach e Caccioppoli sono ora pronti a dare sfoggio della loro potenza
Devi trovare il vettore \(\vec{PQ}\) ortogonale alle due rette \(r, r'\), con \(P \in r, Q \in r'\). Fatto questo potrai concludere il tuo ragionamento aggiungendo ad \(X\) il vettore \(\vec{OP}\).
Puoi fare la proiezione ortogonale di un punto su una retta? Spero di sì, altrimenti quello che sto per dire è tutto da buttare via.
Se puoi fare una proiezione, allora definisco la mappa \(\varphi : r \to r\) come la composizione della proiezione ortogonale di un punto \(S \in r\) su \(r'\) [in questo modo si ottiene il punto \(S'\)] con la proiezione ortogonale di un punto \(S' \in r'\) su \(r\).
Se ho scritto in maniera comprensibile la definizione di \(\varphi\), allora dovrebbe essere chiaro che trovare il vettore \(\vec{PQ}\) equivale a trovare un punto fisso della mappa \(\varphi\).
A questo punto immagino si sia capito dove voglio arrivare: \(\mathbb{E}^3\) è uno spazio euclideo, quindi ha abbastanza struttura per farci una metrica, e ad occhio non sembra troppo difficile far vedere [giocando con le proprietà della proiezione ortogonale] che \(\varphi\) è una contrazione.
I signori Banach e Caccioppoli sono ora pronti a dare sfoggio della loro potenza
La distanza tra due rette è il minimo tra le distanze dei punti appartenenti alle due rette. Questo minimo esiste sempre e c'è una coppia che dista esattamente quella distanza. La retta che passa per quei due punti è perpendicolare ad entrambe le rette.
"vict85":
La distanza tra due rette è il minimo tra le distanze dei punti appartenenti alle due rette. Questo minimo esiste sempre e c'è una coppia che dista esattamente quella distanza. La retta che passa per quei due punti è perpendicolare ad entrambe le rette.
Anche questa affermazione andrà dimostrata in qualche modo... O no?
"Raptorista":
[quote="vict85"]La distanza tra due rette è il minimo tra le distanze dei punti appartenenti alle due rette. Questo minimo esiste sempre e c'è una coppia che dista esattamente quella distanza. La retta che passa per quei due punti è perpendicolare ad entrambe le rette.
Anche questa affermazione andrà dimostrata in qualche modo... O no?
[/quote]A meno di un trasformazione affine puoi supporre che una delle due sia l'asse \(\displaystyle x \) e che l'altra intersechi il piano \(\displaystyle x=0 \). Nel caso sia totalmente dentro quel piano si ha finito perché la perpendicolare ad entrambe le rette è banale.
Supponiamo quindi che non sia contenuta nel piano \(\displaystyle x=0 \) allora per ogni punto di \(\displaystyle (x,y,z) \) della seconda retta la distanza dalla prima retta è data da \(\displaystyle \sqrt{y^2+z^2} \). Ora, per comodità, si può lavorare con le distanze al quadrato.
La seconda retta avrà equazione parametrica (a seguito della trasformazione affine segnalata prima:
\(\displaystyle r'\colon \begin{cases} x &= t \\ y &= y_0 + at \\ z &= z_0 + bt \end{cases} \)
Ora si ha che la distanza (al quadrato) tra un punto di \(\displaystyle r' \) dall'asse \(\displaystyle x \) è
\begin{align} f(t) &= (y_0 + at)^2 + (z_0 + bt)^2\\ &= y_0^2 + 2ay_0t + a^2t^2 + z_0^2 + 2bz_0t + b^2t^2 \\ &= (a^2 + b^2)t^2 + 2(ay_0 + bz_0)t + (y_0+z_0)\end{align}
Questa è una funzione in una variabile e siccome almeno uno tra \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) è diverso da \(\displaystyle 0 \) questa funzione ha un minimo nel punto:
\(\displaystyle f'(t) = 2(a^2 + b^2)t + 2(ay_0 + bz_0) \)
\(\displaystyle 2(a^2 + b^2)t + 2(ay_0 + bz_0) = 0 \)
\(\displaystyle (a^2 + b^2)t = -(ay_0 + bz_0) \)
\(\displaystyle t = -\frac{ay_0 + bz_0}{a^2 + b^2} \)
Ora, il segmento che congiunge questo punto all'asse \(\displaystyle x \) è perpendicolare all'asse \(\displaystyle x \), d'altra parte, scambiando i ruoli è anche il percorso più breve che congiunge quel punto sull'asse \(\displaystyle x \) alla retta \(\displaystyle r' \) e quindi è perpendicolare anche a quella retta.
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