Esercizio rette e vettori nello spazio
ciao a tutti, sono nuovo, spero di trovarmi bene con tutti 
vengo subito al sodo.
sia a il piano di equazione: -x+y+2z=1
sia r la retta passante per il punto P(1,0,1)
1) P appartiene ad a.
ho sostituito il vettore direzione (1,0,1) nell'equazione del piano e ho verificato l'uguaglianza. VERO
2) v=i+j+2k e' un vettore direzione di r.
se non vado errato avendo noi gia' il vettore direzione della retta, il resto dei vettori direzione dovrebbero essere tutti i multipli di quel vettore, cioe' h*(1,0,1). il vettore v utilizza i versori di modulo unitario, quindi dovrebbe essere (1,1,2) che non e' assolutamente multiplo di (1,0,1). quindi ho scritto FALSO.
3) w=-i+j+k e' un vettore normale di r.
panico. non riesco a trovare da nessuna parte come faccio a vedere se due rette sono perpendicolari nello spazio...
4) l'equazione generale della retta r e' 2x+y+(1/2)z=5/2
questa la devo fare e poi vi faro' sapere... nell'esercizio sotto devo mettere la retta in forma parametrica, da li' passero' alla forma generale.
5) l'equazione parametrico di r e':
x=1-2t
y=2t
z=1+4t
?
se non vado errato invece e'
x=t
y=0
z=t
Per cui direi FALSO...
se qualcuno mi puo' dare delle delucidazioni... grazie 1000 in anticipo!
vengo subito al sodo.
sia a il piano di equazione: -x+y+2z=1
sia r la retta passante per il punto P(1,0,1)
1) P appartiene ad a.
ho sostituito il vettore direzione (1,0,1) nell'equazione del piano e ho verificato l'uguaglianza. VERO
2) v=i+j+2k e' un vettore direzione di r.
se non vado errato avendo noi gia' il vettore direzione della retta, il resto dei vettori direzione dovrebbero essere tutti i multipli di quel vettore, cioe' h*(1,0,1). il vettore v utilizza i versori di modulo unitario, quindi dovrebbe essere (1,1,2) che non e' assolutamente multiplo di (1,0,1). quindi ho scritto FALSO.
3) w=-i+j+k e' un vettore normale di r.
panico. non riesco a trovare da nessuna parte come faccio a vedere se due rette sono perpendicolari nello spazio...
4) l'equazione generale della retta r e' 2x+y+(1/2)z=5/2
questa la devo fare e poi vi faro' sapere... nell'esercizio sotto devo mettere la retta in forma parametrica, da li' passero' alla forma generale.
5) l'equazione parametrico di r e':
x=1-2t
y=2t
z=1+4t
?
se non vado errato invece e'
x=t
y=0
z=t
Per cui direi FALSO...
se qualcuno mi puo' dare delle delucidazioni... grazie 1000 in anticipo!
Risposte
ciao...
2) la retta $r$ non è ben identificata dal problema, sempre che tu parli di rette affini. La generica retta passante per $P$ e giacente sul piano $a$ è data da:
$r=(1,0,1)+Span(a+2b,a,b)$
con $a$ e $b$ parametri. Imponendo che esista un vettore direzione uguale ad un multiplo di $(1,1,2)$ si ottiene:
$a+2b=c$
$a=c$
$b=2c$
da cui c=0, che non và bene. Quindi la risp al secondo quesito è negativa.
3) sempre come prima, non si capisce se il quesito dice: "esiste una retta che rispetta quelle condizioni e che sia anche perpendicolare a quel vettore" o cosa...
Cmq due rette sono pependicolari se: 1) si intersecano; 2) la giacitura di una
è contenuta nell'ortogonale della giacitura dell'altra;
non so quanto possa essere stato d'aiuto... ho come l'impressione che utilizzi un linguaggio diverso dal mio..
2) la retta $r$ non è ben identificata dal problema, sempre che tu parli di rette affini. La generica retta passante per $P$ e giacente sul piano $a$ è data da:
$r=(1,0,1)+Span(a+2b,a,b)$
con $a$ e $b$ parametri. Imponendo che esista un vettore direzione uguale ad un multiplo di $(1,1,2)$ si ottiene:
$a+2b=c$
$a=c$
$b=2c$
da cui c=0, che non và bene. Quindi la risp al secondo quesito è negativa.
3) sempre come prima, non si capisce se il quesito dice: "esiste una retta che rispetta quelle condizioni e che sia anche perpendicolare a quel vettore" o cosa...
Cmq due rette sono pependicolari se: 1) si intersecano; 2) la giacitura di una
è contenuta nell'ortogonale della giacitura dell'altra;
non so quanto possa essere stato d'aiuto... ho come l'impressione che utilizzi un linguaggio diverso dal mio..
Anch'io ho l'impressione che hypnotizer usi un linguaggio diverso da quello " standard"e stavo facendo le stesse considerazioni di Thomas : perchè dici che 2 rette sono ortogonali se si incontrano ?
Non farai forse distinzione tra perpendicolari e ortogonali ?
Non farai forse distinzione tra perpendicolari e ortogonali ?
no alt, perpendicolari e ortogonali nello spazio non sono la stessa cosa... delle rette oltretutto possono essere perpendicolari pur essendo sghembe, quindi non secanti... per quanto riguarda il linguaggio uso quello algebrico.
credo di poterne calcolare l'angolo (dell'esercizio 2) utilizzando le proprieta' del prodotto scalare dei vettori direzione...
(1,0,1) = 2*i + 0*j + 1*q
(1,1,2) = 1*i + 2*j + 2*q
quindi
(1,0,1) * (1,1,2) = 1*1 + 0*1 + 1*2 = 3
3 e' il risultato del prodotto scalare dei due vettori posizione. Sapendo che il prodotto scalare e' calcolabile anche come:
|1,0,1| * |1,1,2| * cosO
trovo l'angolo O con l'equazione
sqrt(2) * sqrt(6) * cosO = 3
quindi
cosO = 3/(sqrt(2)*sqrt(6)) = 3/sqrt(12) che normalizzando e semplificando viene sqrt(3)/2
O = pi/6
ovviamente pi/6 != pi/2, ed ecco dimostrato che i due vettori direzione non sono perpendicolari fra loro.
EDIT, accetto critiche e correzioni di ogni genere.
(1,0,1) = 2*i + 0*j + 1*q
(1,1,2) = 1*i + 2*j + 2*q
quindi
(1,0,1) * (1,1,2) = 1*1 + 0*1 + 1*2 = 3
3 e' il risultato del prodotto scalare dei due vettori posizione. Sapendo che il prodotto scalare e' calcolabile anche come:
|1,0,1| * |1,1,2| * cosO
trovo l'angolo O con l'equazione
sqrt(2) * sqrt(6) * cosO = 3
quindi
cosO = 3/(sqrt(2)*sqrt(6)) = 3/sqrt(12) che normalizzando e semplificando viene sqrt(3)/2
O = pi/6
ovviamente pi/6 != pi/2, ed ecco dimostrato che i due vettori direzione non sono perpendicolari fra loro.
EDIT, accetto critiche e correzioni di ogni genere.
uhm... nessuno obietta perche' ho fatto tutto giusto o che? sicuramente avrei potuto risolverlo in modo piu' elegante direi...
Non so gli altri, ma io non obietto perchè concordo con Thomas che il problema non è ben definito.
Forse dovresti controllare meglio se hai riportato completamente il testo.
ciao
Forse dovresti controllare meglio se hai riportato completamente il testo.
ciao
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