Esercizio rappresentazione cartesiana
Salve a tutti,
come da oggetto, devo dare una rappresentazione cartesiana dello spazio vettoriale $V=<(1101)(1102)(0001)(0011)>$.
Controllo che i generatori rappresentino proprio una base o meno:
$((1,1,0,1),(1,1,0,2),(0,0,0,1),(0,0,1,1))$ sottraendo alla seconda riga la prima otteniamo $((1,1,0,1),(0,0,0,1),(0,0,0,1),(0,0,1,1))$ Noto che la seconda e la terza riga sono uguali quindi una base di $V$ è $Bv={(1101)(0001)(0011)}$.
Un generico vettore di $V$ è espresso nella forma $U=(xyzk)$. Impongo che sia lineramente dipendente dai vettori base riduce la matrice seguente a scalini e imponendo che l'ultima riga sia nulla:
$((1,1,0,1),(0,0,0,1),(0,0,1,1),(x,y,z,k))$ che scambiando seconda e terza riga diventa $((1,1,0,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1),(x,y,z,k))$.
Affinche la matrice venga ridotta a scalini tutti i parametri devono essere nulli. Ciò equivale a dire che l'unico vettore appartenente allo spazio $V$ è proprio il vettore $0=(0000)$ ? E' corretto il mio raggionamento?
come da oggetto, devo dare una rappresentazione cartesiana dello spazio vettoriale $V=<(1101)(1102)(0001)(0011)>$.
Controllo che i generatori rappresentino proprio una base o meno:
$((1,1,0,1),(1,1,0,2),(0,0,0,1),(0,0,1,1))$ sottraendo alla seconda riga la prima otteniamo $((1,1,0,1),(0,0,0,1),(0,0,0,1),(0,0,1,1))$ Noto che la seconda e la terza riga sono uguali quindi una base di $V$ è $Bv={(1101)(0001)(0011)}$.
Un generico vettore di $V$ è espresso nella forma $U=(xyzk)$. Impongo che sia lineramente dipendente dai vettori base riduce la matrice seguente a scalini e imponendo che l'ultima riga sia nulla:
$((1,1,0,1),(0,0,0,1),(0,0,1,1),(x,y,z,k))$ che scambiando seconda e terza riga diventa $((1,1,0,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1),(x,y,z,k))$.
Affinche la matrice venga ridotta a scalini tutti i parametri devono essere nulli. Ciò equivale a dire che l'unico vettore appartenente allo spazio $V$ è proprio il vettore $0=(0000)$ ? E' corretto il mio raggionamento?
Risposte
Ragazzi nessuno sa darmi una risposta?
Visto che le righe della matrice come hai detto tu devono essere dipendenti allora perchè non imponi direttamente la condizione $ det ((1,1,0,1),(0,0,0,1),(0,0,1,1),(x,y,z,k)) = 0 $ ??
Questo poi è assurdo xD Lo spazio V deve contenere almeno tre vettori quelli della sua base, senza contare tutte le loro combinazioni lineari, come potrebbe contenere solo il vettore nullo?
Ciò equivale a dire che l'unico vettore appartenente allo spazio V è proprio il vettore $ 0=(0000) $ ? E' corretto il mio raggionamento?
Questo poi è assurdo xD Lo spazio V deve contenere almeno tre vettori quelli della sua base, senza contare tutte le loro combinazioni lineari, come potrebbe contenere solo il vettore nullo?
Ok, mi scuso per l'assurdità detta 
Quindi ponendo che il determinante della matrice completa sia 0, impongo che il rango sia tre e quindi che le prime tre righe siano indipendenti ( poichè da loro è estraibile una matrici 3x3 di rango 3) mentre l'ultimo vettore sia dipendente dalle altre. Giusto? Ma volendo utilizzare il metodo della riduzione a scalini, come ci si dovrebbe muovere?
Quindi ponendo che il determinante della matrice completa sia 0, impongo che il rango sia tre e quindi che le prime tre righe siano indipendenti ( poichè da loro è estraibile una matrici 3x3 di rango 3) mentre l'ultimo vettore sia dipendente dalle altre. Giusto? Ma volendo utilizzare il metodo della riduzione a scalini, come ci si dovrebbe muovere?
Chiamiamo $ R_1,R_2,R_3,R_4 $ le righe della matrice $ ((1,1,0,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1),(x,y,z,k)) $ . Potresti fare una dopo l'altra le seguenti operazioni di riga:
1) $ R_4-xR_1 \rightarrow R_4 $
2) $ R_4-zR_2 \rightarrow R_4 $
3) $ R_4+ (x+z-k)R_1 \rightarrow R_4 $
Così ottieni $ ((1,1,0,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1),(0,y-x,0,0)) $ . L'ultima riga vogliamo che sia nulla e quindi non ci resta che imporre $ y-x=0 $ Complimenti hai trovato l'equazione cartesiana...
1) $ R_4-xR_1 \rightarrow R_4 $
2) $ R_4-zR_2 \rightarrow R_4 $
3) $ R_4+ (x+z-k)R_1 \rightarrow R_4 $
Così ottieni $ ((1,1,0,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1),(0,y-x,0,0)) $ . L'ultima riga vogliamo che sia nulla e quindi non ci resta che imporre $ y-x=0 $ Complimenti hai trovato l'equazione cartesiana...
Ti fai i compliemnti da solo? 
Comunque grazie mille, chiarissimo 
Comunque grazie mille, chiarissimo
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