Esercizio provare che è uno spazio vettoriale reale
Ciao a tutti!
Come da titolo vorrei che qualcuno mi aiutasse sul come dimostrare che questo è uno spazio vettoriale reale e di indicarne una base. Siate comprensivi Algebra è una materia molto ostica per me
Il testo è:
$$A\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}A$$
con $$A\in\ R2*2$$ (matrice in R 2x2 non sapevo come scriverlo scusatemi)
Grazie mille in anticipo
Come da titolo vorrei che qualcuno mi aiutasse sul come dimostrare che questo è uno spazio vettoriale reale e di indicarne una base. Siate comprensivi Algebra è una materia molto ostica per me
Il testo è:
$$A\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}A$$
con $$A\in\ R2*2$$ (matrice in R 2x2 non sapevo come scriverlo scusatemi)
Grazie mille in anticipo
Risposte
idee tue?
una era dimostrare che il prodotto scalare tra A e la matrice è commutativo ma non credo sia giusta. Chiedevo aiuto proprio perchè sono molto indeciso su questo tipo di esercizi
Allora,
chiamiamo $B=((1,0),(1,0))$ , vogliamo provare che $V={A \in M_2(RR) | AB=BA } sube M_2(RR)$. è un sottospazio vettoriale di $M_2(RR)$. ( dimostrando che è un sottospazio, abbiamo a-gratis che $V$ è anche uno spazio vettoriale).
Innanzi tutto notiamo che $V$ è non vuoto, in quanto $0=((0,0),(0,0)) \in V$ . infatti soddisfa $0B=0=B0$,
Utilizziamo la caratterizzazione dei sottospazi vettoriali, cioè proviamo che $AA a,b \in RR , X, Y \in V : aX+bY \in V$.
Siano $a,b \in RR$ e siano $X, Y \in V$, cioè tali che $XB=BX$ e $YB=BY$. (1).
Ciò che dobbiamo provare è che $(aX+bY)B=B(aX+bY)$(2).
Da due si ha che $(2) => (aX+bY)B-B(aX+bY)=0 <=> (aX)B+(bY)B-B(aX)-B(bY)=0$
$a(XB)+b(YB)-a(BX)-b(BY)=0 <=> a(XB-BX)+b(YB-BY)=0 (2)$ <-- si sono usate gli assiomi di spazio vettoriale di $M_2(RR)$
(2) è vera in quanto $X,Y \in V$ per ipotesi.
Per trovare una base, bisogna sporcarsi un po le mani.
Sia $A=((x,y),(z,t)) \in M_2(RR)$,
$AB=BA <=> ((x,y),(z,t)) ((1,0),(0,1)) = ((x,y),(z,t)) ((x.y),(z,t)) <=> ((x+y,0),(z+t,0))=((x,y),(x,y))$
Da cui ricaviamo che
$x+y=x$
$0=y$
$z+t=x$
$y=0$
Pertanto $V={ A=((x,y),(z,t)) \in M_2(RR) | x+y=x , y=0, z+t=x } = { A=((x,y),(z,t)) \in M_2(RR) | y=0 , z = t-x} =$
$={ ((x,0),(t-x,t)) | x, t \in RR} = {x((1,0),(-1,0))+t((0,0),(1,1)) | x, t \in RR } = < v_1=((1,0),(-1,0)) , v_2=((0,0),(1,1))>$
Dunque una base per $V$ è data dai vettori $v_1,v_2$ , si ha inoltre che $dimV=2$.
chiamiamo $B=((1,0),(1,0))$ , vogliamo provare che $V={A \in M_2(RR) | AB=BA } sube M_2(RR)$. è un sottospazio vettoriale di $M_2(RR)$. ( dimostrando che è un sottospazio, abbiamo a-gratis che $V$ è anche uno spazio vettoriale).
Innanzi tutto notiamo che $V$ è non vuoto, in quanto $0=((0,0),(0,0)) \in V$ . infatti soddisfa $0B=0=B0$,
Utilizziamo la caratterizzazione dei sottospazi vettoriali, cioè proviamo che $AA a,b \in RR , X, Y \in V : aX+bY \in V$.
Siano $a,b \in RR$ e siano $X, Y \in V$, cioè tali che $XB=BX$ e $YB=BY$. (1).
Ciò che dobbiamo provare è che $(aX+bY)B=B(aX+bY)$(2).
Da due si ha che $(2) => (aX+bY)B-B(aX+bY)=0 <=> (aX)B+(bY)B-B(aX)-B(bY)=0$
$a(XB)+b(YB)-a(BX)-b(BY)=0 <=> a(XB-BX)+b(YB-BY)=0 (2)$ <-- si sono usate gli assiomi di spazio vettoriale di $M_2(RR)$
(2) è vera in quanto $X,Y \in V$ per ipotesi.
Per trovare una base, bisogna sporcarsi un po le mani.
Sia $A=((x,y),(z,t)) \in M_2(RR)$,
$AB=BA <=> ((x,y),(z,t)) ((1,0),(0,1)) = ((x,y),(z,t)) ((x.y),(z,t)) <=> ((x+y,0),(z+t,0))=((x,y),(x,y))$
Da cui ricaviamo che
$x+y=x$
$0=y$
$z+t=x$
$y=0$
Pertanto $V={ A=((x,y),(z,t)) \in M_2(RR) | x+y=x , y=0, z+t=x } = { A=((x,y),(z,t)) \in M_2(RR) | y=0 , z = t-x} =$
$={ ((x,0),(t-x,t)) | x, t \in RR} = {x((1,0),(-1,0))+t((0,0),(1,1)) | x, t \in RR } = < v_1=((1,0),(-1,0)) , v_2=((0,0),(1,1))>$
Dunque una base per $V$ è data dai vettori $v_1,v_2$ , si ha inoltre che $dimV=2$.
Grazie mille per la pronta e precisa risposta
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