Esercizio proiezione ortogonale

[Andrea9905]

Buongiorno,
Ho provato a fare un esercizio ma ho problemi a intendere nel modo giusto la richiesta...
Vi mando correlata la mia interpretazione...
Il testo è il seguente:

Si consideri $RR^3$ con il prodotto scalare canonico, e sia:

$V={x in RR^3 : 3x_1-4x_3=0}$

1. Si indichi un $v_0 in V$ tale che $||v_0||=20$

2 Si indichi uno $z_0inRR^3$ tale che:
- La proiezione ortogonale di $z_0$ su $V$ sia $v_0$
- $||z_0||=25$

Soluzioni
1. Non dovrebbe essere complicato, anche perché un vettore $v_0$ con quelle caratteristiche lo posso vedere subito a occhio:

$v_0=((0),(20),(0))$

2. Il secondo punto mi crea un po' più difficoltà...
Io ho pensato così...
Devo trovare dallo spazio $V$ una base ortonormale contenente il vettore $z_0$,
quindi calcolarmi la proiezione ortogonale di un y qualsiasi di V e, infine, uguagliare
tale proiezione trovata a $v_0$?

E' giusto come ragionamento o c'è un altro metodo per risolvere questa domanda?


Grazie,
Andrea

[franced]

"Andrea990":
Si consideri $RR^3$ con il prodotto scalare canonico, e sia:

$V={x in RR^3 : 3x_1-4x_3=0}$

1. Si indichi un $v_0 in V$ tale che $||v_0||=20$

2 Si indichi uno $z_0inRR^3$ tale che:
- La proiezione ortogonale di $z_0$ su $V$ sia $v_0$
- $||z_0||=25$

Allora preso $v_0=((0),(20),(0))$, tutti i vettori $w$ che hanno proiezione ortogonale $v_0$ su $V$
sono del tipo

$w = ((0),(20),(0)) + t ((3),(0),(-4))$

ora puoi trovare i due valori di $t$ per cui $|w|=25$.

[Andrea9905]

Grazie davvero Sergio!
Visto che ci siamo posso chiederti un'altra cosa?
Ho fatto un esercizio sempre sui soliti argomenti...
su questo sito ho trovato la spiegazione dell'ultimo punto... il fatto è che non ho capito cosa devo fare...
Il link è questo:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 45160.html

Io sono arrivato al punto che mi sono calcolato la componente normale h secondo il vettore a

cioé dopo aver trovato la proiezione ortogonale $a'$ del generico vettore $a$, ho applicato la formula:

$h=a-a'$

e ho trovato:

$h=(((a_1-2a_3)/5),(0),((-2a_1+4a_3)/5))$

Non ho capito... a questo punto: $||h||=9$

O devo fare altro?

Grazie,
Andrea

[franced]

"Sergio":franced, come al solito, non sbaglia un colpo ma è molto sintetico

No! Io scrivo solo l'essenziale..
Scrivendo troppo si rischia di sbagliare!

[Andrea9905]

Perfetto...
Non ero riuscito a vederlo da questo lato...^^... Il motivo è dovuto al fatto che il nostro prof ci ha spiegato solo teoria... Abbiamo imparato autonomamente le cose ma alcuni trucchi non si conoscono pur conoscendo la teoria...
Menomale qualche esperto che da una mano c'è...^^

Una precisazione: il vettore direttore (1,2,-2) l'hai preso a caso... giusto?

Inoltre:
La rappresentazione parametrica dell'insieme trovato come si fa?

Grazie ancora,
Andrea

[franced]

L'equazione parametrica si ottiene ricavando una variabile, ad esempio $x$, in funzione delle altre.

Esempio:

[tex]x + 4\,y - 5\,z = 4[/tex]

[tex]x = 4 - 4\,y + 5\,z[/tex]

[tex]\left( \begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
4 \\
0 \\
0
\end{array} \right) + \lambda_1 \left( \begin{array}{c}
-4 \\
1 \\
0
\end{array} \right) + \lambda_2 \left( \begin{array}{c}
5 \\
0 \\
1
\end{array} \right)[/tex]

[Andrea9905]

[/quote]
A caso???
E' (dovrebbe) essere ben noto che se $ax_1+bx_2+cx_3=d$ è un piano, il vettore direttore di qualsiasi retta ortogonale al piano è $(a,b,c)$.
E' una delle cose più semplici della geometria
Se ti giungesse nuova, potrebbero forse esserti utili alcuni appunti che avevo scritto tempo fa:
http://web.mclink.it/MC1166/uni/geo.pdf[/quote]

Il fatto è che il professore non ne ha mai parlato di queste cose...
Lui ha spiegato solo algebra lineare...
Geometria nulla... e infatti la gente viene segata per questo ai suoi esami...
Perché lui mette uno di questi tipi di esercizi nei suoi compiti e tutti lo saltano perdendo minimo 5 punti
sommati agli altri errori... ti puoi immaginare... Comunque grazie moltissimo... mi guardo i tuoi appunti
che credo saranno assai utili in preparazione... Tempo ne ho e voglio farlo quasi perfetto...
Meno male ti ho fatto questa domanda...

Grazie Sergio,
Buona domenica,
Andrea

[Roshi88]

Salve, sono nuovo del forum ma lo seguo spesso da esterno per aiuto in alcuni tipi di esercizi, visto che questa discussione è molto simile ad un problema che sto tentando di risolvere, ho ritenuto inutile aprire un altro topic, vi posto la mia situazione:

Sono nella stessa identica situazione del problema iniziale, solo che ho uno spazio $ V={x in RR^3 : 2x1+2x2-x3=0}$ da cui ricavo le basi $ (0,1,1) , (1,2,0) $ quello che devo trovare è un vettore a che abbia come proiezione ortogonale su V il vettore $ v0=(1,0,2) $

Io seguendo il vostro aiuto sono arrivato a calcolarmi un vettore $ b3 = (2,2,-1) $ che completi la base di V per avere $RR^3$, ipotizzando che il mio vettore a abbia sia componente su b1, sia su b2, sia su b3, però adesso mi trovo nei pasticci perchè non so come fare a imporre che a abbia componente ortogonale su V il vettore v0. Nell'esercizio precedente infatti avevamo che Z0 apparteneva al piano b1 b3 perchè v0 è evidente multiplo di b1e tramite la formula della proiezione del vettore su un altro vettore si è ricavato $(0,s,0)$ che posto uguale a$(0,20,0)$ ci ha fatto ricavare la s=20 . In questo caso però non trovo che a sia un multiplo (perlomeno ad occhio) di un solo vettore quindi non so come fare (dato che il prof non ha avuto tempo di spiegare tutto questo argomento e il libro se ne guarda bene) a trovare la componente ortogonale di un vettore su un piano..

Non so se sono riuscito a spiegarmi a dovere, nel caso tanto sono sempre qua che tengo d'occhio il topic, Vi ringrazio in anticipo per le possibili risposte, scusate se ho commesso qualche errore nell'impostare il topic ma è il mio primo