Esercizio prodotti scalari e indici di positività e negatività
Salve a tutti! Posto qui sotto un esercizio su cui ho dei problemi
"Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita e sia $psi in PS(V)$. Per $f in End(V)$ invertibile, sia $phi_(f) in PS(V)$ il prodotto scalare definito da $phi_(f)(v,w)=psi(v,w)+psi(f(v),f(w))$ per ogni $v,w in V$
a)Mostrare che se $psi$ è semidefinito positivo, allora $phi_(f)$ è semidefinito positivo e $rnk(phi_(f))>=rnk(psi)$
b)Se $psi$ è non degenere allora $i_(+)(phi_(f))>=i_(+)(psi)-i_(-)(psi)$
c)Mostrare che se $psi$ è non degenere e non definito, allora esiste $f in End(V)$ invertibile tale che $phi_(f)$ è non degenere e $i_(+)(phi_(f))=i_(+)(psi)+1$
d)Mostrare che se $psi$ è definito positivo ed $f in End(V)$ è tale che $f^(k)=id$ per qualche $k>0$, allora esiste $varphi in PS(V)$ definito positivo tale che $f$ è un'isometria per $varphi$
Partendo dal primo punto, mostrare che $phi_(f)$ è semidefinito positivo è praticamente immediato, mentre per la relazione sul rango pensavo di passare a quella sulla dimensione del radicale
"Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita e sia $psi in PS(V)$. Per $f in End(V)$ invertibile, sia $phi_(f) in PS(V)$ il prodotto scalare definito da $phi_(f)(v,w)=psi(v,w)+psi(f(v),f(w))$ per ogni $v,w in V$
a)Mostrare che se $psi$ è semidefinito positivo, allora $phi_(f)$ è semidefinito positivo e $rnk(phi_(f))>=rnk(psi)$
b)Se $psi$ è non degenere allora $i_(+)(phi_(f))>=i_(+)(psi)-i_(-)(psi)$
c)Mostrare che se $psi$ è non degenere e non definito, allora esiste $f in End(V)$ invertibile tale che $phi_(f)$ è non degenere e $i_(+)(phi_(f))=i_(+)(psi)+1$
d)Mostrare che se $psi$ è definito positivo ed $f in End(V)$ è tale che $f^(k)=id$ per qualche $k>0$, allora esiste $varphi in PS(V)$ definito positivo tale che $f$ è un'isometria per $varphi$
Partendo dal primo punto, mostrare che $phi_(f)$ è semidefinito positivo è praticamente immediato, mentre per la relazione sul rango pensavo di passare a quella sulla dimensione del radicale
Risposte
Ciao,
è facile dimostrare che un prodotto scalare reale è semidefinito positivo se e solo se il radicale coincide con il cono isotropo.
Sapendo questo la tua strategia sul radicale è ottima: basta dimostrare che $Rad(\phi_f) \subset Rad(\psi)$ e il gioco è fatto.
è facile dimostrare che un prodotto scalare reale è semidefinito positivo se e solo se il radicale coincide con il cono isotropo.
Sapendo questo la tua strategia sul radicale è ottima: basta dimostrare che $Rad(\phi_f) \subset Rad(\psi)$ e il gioco è fatto.
Esatto! Proprio lì sono arrivato ma non riesco a vedere il contenimento
Sai che $Rad(\psi) = CI(\psi) = {v \in V | \psi(v, v,) = 0}$ e sai che $Rad(\phi_f) = {v \in V| \phi_f (v, v) = 0}$
Sia $v \in Radi(\phi_f)$ allora $\phi_f(v, v) = \psi(v, v) + \psi(f(v), f(v)) = 0$, ma $\psi$ è semidefinito positivo, quindi...
Sia $v \in Radi(\phi_f)$ allora $\phi_f(v, v) = \psi(v, v) + \psi(f(v), f(v)) = 0$, ma $\psi$ è semidefinito positivo, quindi...
Che stupido che sono stato!
Quindi entrambi gli addensi sono nulli...
Quindi entrambi gli addensi sono nulli...
Esatto.
Hai provato qualcosa per il punto due?
Hai provato qualcosa per il punto due?
Per gli altri tre punti non saprei proprio da dove partire...magari creare qualche base ad hoc per V?
Mh sì è una buona idea. Tieni conto che $i_{+}(\psi) >= \i_{-}(\psi)$, se sono uguali la tesi è banalmente vera, quindi supponiamo $i_{+}(\psi) > \i_{-}(\psi)$ e chiamiamo $k = i_{+}(\psi) - \i_{-}(\psi)$, questo vuol dire che fissata una base $B = {w_1, ..., w_n}$ ortogonale normalizzata per $\psi$ esistono, a meno di rinominare gli indici, $k$ vettori ${w_1, ..., w_k}$ tale che $\psi$ ristretto a $W = Span(w_1, ..., w_k)$ è definito positivo. Restringendosi a $W$ hai che $W$ è uno spazio euclideo, $\psi$ ristretto a $W$ è definito positivo e $\phi_f$ è un prodotto scalare definito su $W$... siamo nelle ipotesi del teorema di ortogonalizzazione simultanea. Da qui in poi non ho continuato per mancanza di tempo. Fammi sapere!
Ciao!
Ciao!
Allora quindi se non sbaglio esiste la base B ortonormale per $psi$ e ortogonale per $phi_f$. La matrice associata a $psi$ in questa base dovrebbe consistere in un blocco identità $kxxk$ e un blocco meno identità $(n-k)xx(n-k)$ (dato che $psi$ è non degenere)
"nick_10":
Allora quindi se non sbaglio esiste la base B ortonormale per $psi$ e ortogonale per $phi_f$. La matrice associata a $psi$ in questa base dovrebbe consistere in un blocco identità $kxxk$ e un blocco meno identità $(n-k)xx(n-k)$ (dato che $psi$ è non degenere)
Non è detto che il blocco di ordine $(n-k)$ sia $-I$, perché ho preso solo $k$ vettori appartenenti a un ssv che realizza $i_+(\psi)$, comunque l'ideale sarebbe dimostrare che $\phi_f$ sulla base $B$ ortornomale per $\psi$ e ortogonale per $\phi_f$ sia definito positivo.
Beh restringendosi a W dovrebbe essere vero...
"nick_10":
Beh restringendosi a W dovrebbe essere vero...
Perché?
Perchè $psi$ lo è e vedo come è definito $phi_f$ dal testo
"nick_10":
Perchè $psi$ lo è e vedo come è definito $phi_f$ dal testo
Sì ma non sai come agisce $f$ sui $k$ vettori, o sbaglio?
Si infatti questo era uno dei mie dubbi. Non so se W è f-invariante...
Un dubbio...non posso dire che anche $phi_f$ è non degenere? Avevamo dimostrato che $Rad(phi_f) sub Rad(psi)$ e $psi$ è non degenere
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