Esercizio posizione tra rette e piani
Nello spazio euclideo $E_3$ siano assegnati due piani alpha e beta ed un punto $P$ fuori da ciscuno di essi. Per ciascuna delle affermazioni che seguono dire se, ed in quali casi, è vera, motivando la risposta.
a) Ogni retta parallela ad alpha è parallela a beta;
b) Esiste una sola retta per P parallela ad alpha e beta;
c) Esistono infinite rette per P ortogonali ad alpha
d) Esiste una sola retta per P ortogonale ad alpha e beta.
N.b: no si deve fissare alcun riferimento particolare.
a) Ogni retta parallela ad alpha è parallela a beta;
b) Esiste una sola retta per P parallela ad alpha e beta;
c) Esistono infinite rette per P ortogonali ad alpha
d) Esiste una sola retta per P ortogonale ad alpha e beta.
N.b: no si deve fissare alcun riferimento particolare.
Risposte
Non capisco se i piani e le rette li possiamo "muovere" a piacimento.
Del tipo, quesito a) Ovviamente è falsa. Considera $alpha \bot beta$ una retta parallela ad uno dei due sarò perpendicolare all'altro piano
Prova tu ora con le altre
Del tipo, quesito a) Ovviamente è falsa. Considera $alpha \bot beta$ una retta parallela ad uno dei due sarò perpendicolare all'altro piano
Prova tu ora con le altre
Le rette e i piani si possono muovere a piacimento. Graficamente ho ben presente la situazione, ma matematicamente non riesco a esprimerla, anche perchè non posso usare le note relazioni tra parallelismo e ortogonalità tra rette, tra rette e piani riguardanti i numeri direttori visto che nella domanda non mi chiede di fissare alcun riferimento ortonormale (è stato specificato durante una prova intercorso).
a) ovviamente ogni retta parallela ad alpha è parallela anche a beta se e solo se alpha e beta sono paralleli.
b) Per P esiste un fascio di rette parallele ad alpha e a beta se e solo se alpha e beta sono paralleli.
c) Per P passa una ed una sola retta ortogonale ad alpha.
d) Esiste una sola retta per P ortogonale ad alpha e a beta se e solo se alpha e beta sono paralleli.
Credo di aver risposto concettualmente correttamente, ma ripeto, il mio problema è, matematicamente come lo esprimo? Avevo pensato di ricorrere alla relazione di grassmann per spazi affini, ma non ho la minima idea di come utilizzarla.
a) ovviamente ogni retta parallela ad alpha è parallela anche a beta se e solo se alpha e beta sono paralleli.
b) Per P esiste un fascio di rette parallele ad alpha e a beta se e solo se alpha e beta sono paralleli.
c) Per P passa una ed una sola retta ortogonale ad alpha.
d) Esiste una sola retta per P ortogonale ad alpha e a beta se e solo se alpha e beta sono paralleli.
Credo di aver risposto concettualmente correttamente, ma ripeto, il mio problema è, matematicamente come lo esprimo? Avevo pensato di ricorrere alla relazione di grassmann per spazi affini, ma non ho la minima idea di come utilizzarla.
A me il fatto che non si debba fissare un riferimento particolare non pare voglia dire che non se ne debba fissare proprio. Non capisco come possa uscirne fuori altrimenti 
L'esercizio poi continua così:
Fissato un riferimento R ortonormale rappresentare i luoghi di cui sopra, nel caso in cui $alpha: y+z=0$ e $beta: x=y$, $P(0,1,1)$.
Determinare un movimento che trasformi alpha in beta.
Ovviamente alpha e beta non sono parallei e dunque non posso trovare nessuno dei luoghi. Per il secondo punto, cosa mi consigliate di fare?, io avevo pensato ad una rotazione.
Fissato un riferimento R ortonormale rappresentare i luoghi di cui sopra, nel caso in cui $alpha: y+z=0$ e $beta: x=y$, $P(0,1,1)$.
Determinare un movimento che trasformi alpha in beta.
Ovviamente alpha e beta non sono parallei e dunque non posso trovare nessuno dei luoghi. Per il secondo punto, cosa mi consigliate di fare?, io avevo pensato ad una rotazione.
Allora, cosa ne pensate?
"mistake89":
Considera $alpha \bot beta$ una retta parallela ad uno dei due sarò perpendicolare all'altro piano
occhio mistake89, questa cosa è falsissima...
Hai ragione Blackbishop chiedo scusa!
Volevo solo fornire un controesempio all'affermazione a). In effetti non è vero sempre, ma si può costruire una tale retta, pertanto l'affermazione a) è falsa. E' più corretto come ha risposto biggest.
Scusate nuovamente!
Volevo solo fornire un controesempio all'affermazione a). In effetti non è vero sempre, ma si può costruire una tale retta, pertanto l'affermazione a) è falsa. E' più corretto come ha risposto biggest.
Scusate nuovamente!
Matematicamente, allora, come posso esprimerli?
Non riesco ancora a capire come posso spiegare la soluzione matematicamente, non potendo ricorrere alle relazioni di parallelismo e ortogonalità nel caso sia fissato un riferimento ortonormale.
"biggest":
a) ovviamente ogni retta parallela ad alpha è parallela anche a beta se e solo se alpha e beta sono paralleli.
questa proposizione e' falsa.
Tornando ai tuoi quesiti, per i primi due non puoi semplicemente usare la definizione di parallelismo tra sottovarieta'?
Per ragionarci su, ti conviene scrivere i piani formalmente, ovvero come sottovarieta' affini dello spazio euclideo (un punto e un
sottospazio delle traslazioni), e poi ragionare sulla definizione e sui sottospazi.
Forse in a) esiste una sola rettaper P parallela ad alpha e beta se alpha e beta sono incidenti, ma nella domanda mi diceva ogni retta.
p.s. potresti rispondermi al primo questito come lo faresti tu?, così cerco di fare anche gli altri.
p.s. potresti rispondermi al primo questito come lo faresti tu?, così cerco di fare anche gli altri.
a) Ogni retta parallela ad alpha è parallela a beta;
Un piano in uno spazio affine e' una sottovarieta' e lo spazio direzione e' di dimensione 2.
alpha= X + W
X e' un punto del piano alpha, W e' lo spazio direttore, ovvero un sottospazio vettoriale di (in questo caso) R^3, e quindi W e' generato da due
vettori indipendenti.
beta= Y+W'
Date due sottovarieta' affini X+W, e Y+W' esse si dicono parallele se W e' contenuto in W' o viceversa.
Sai che per la relazione di grassman, W e W' si intersecano in un sottospazio vettoriale di dimensione 1 o 2.
Sia ora una retta r parallela ad alpha e passante per P=> se r = P + si ha che e' contenuto in W. Ma questo non implica che sia contenuto anche in W'.
Con questa impostazione e' facile trovare un controesempio. Scegli W e W' tali che lo spazio d'intersezione abbia dimensione 1, quindi esiste w tale che sia contenuto in W ma non in W'. Allora la retta P+ e' parallela ad alpha ma non e' parallela a beta.
e quindi la proposizione e' falsa.
PS: scusa per la notazione pesante, devo ancora imparare ad usare le formule
Un piano in uno spazio affine e' una sottovarieta' e lo spazio direzione e' di dimensione 2.
alpha= X + W
X e' un punto del piano alpha, W e' lo spazio direttore, ovvero un sottospazio vettoriale di (in questo caso) R^3, e quindi W e' generato da due
vettori indipendenti.
beta= Y+W'
Date due sottovarieta' affini X+W, e Y+W' esse si dicono parallele se W e' contenuto in W' o viceversa.
Sai che per la relazione di grassman, W e W' si intersecano in un sottospazio vettoriale di dimensione 1 o 2.
Sia ora una retta r parallela ad alpha e passante per P=> se r = P +
Con questa impostazione e' facile trovare un controesempio. Scegli W e W' tali che lo spazio d'intersezione abbia dimensione 1, quindi esiste w tale che
e quindi la proposizione e' falsa.
PS: scusa per la notazione pesante, devo ancora imparare ad usare le formule
???????
"biggest":
???????
che c'e' che non va?
Non ho capito
"biggest":
Non ho capito
fin la' ci arrivavo ....
spiegati un po' meglio magari?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo