Esercizio polinomi!!
Salve a tutti... ho un problema con un esercizio sui polinomi a coefficienti reali. Non ho proprio idea di come impostarlo.
esercizio:
sia $ U= {p(t)=a0+a1t+a2t^2+a3t^3 in RR3[t] : p(1)=0} $
e $ W $ lo spazio generato dai polinomi $ { 1, t } $
si trovi una base di $ U nn W $
grazie in anticipo a chiunque risponda =)
esercizio:
sia $ U= {p(t)=a0+a1t+a2t^2+a3t^3 in RR3[t] : p(1)=0} $
e $ W $ lo spazio generato dai polinomi $ { 1, t } $
si trovi una base di $ U nn W $
grazie in anticipo a chiunque risponda =)
Risposte
Innanzitutto la ringrazio del suo aiuto. Come sempre è stato molto chiaro.
Non vorrei approfittare ancora una volta della sua gentilezza ma facendo un esercizio simile mi è venuto un'alto dubbio.
Sia $ V= RR3[t] $.
Considerato il sottospazio vettoriale $ U $ = $ span { 1+t^2, -1+t+t^2-t^3, t+2t^2-t3 } $ e il sottospazio $ W $ = $ { a0+a1t+a2+t^2+a3t^3|$ $ { ( a0-a2=0 ),( 2a0-2a2+a1-a3=0):} }$ ho determinato una base per U considerando la matrice
$ A $ = $ ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( -1 , 1 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 2 , -1 ) ) $. Applicando la riduzione a scalini ho trovato $ A $ = $ ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0, 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $. Una base per $ W $ dovrebbe essere rappresentata da i vettori $ ( ( -1 ),( -2 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ e quindi, tornando ai polinomi una base per $ U $ sarebbe $ {-1-2t+t^2, t+t^3} $
Ho ragionato analogamente con W: Ho considerato la matrice $ ( ( 1 , 0 , -1 , 0 ),( 2 , 1 , -2 , -1 ) )$ e ho trovato una base di W composta dai vettori $ ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ che scritti come polinomi sarebbero $ { 1+t^2, t+t^3} $
Ora a occhio mi verrebbe da dire che una base di $ U nn W $ sia $ { t+t^3} $ ma considerando la matrice che ha per colonne le basi di U e W e studiando il ker di quest'ultima mi viene come base dell'intersezione -t+t^3. Ho controllato più volte i calcoli e dovrebbero essere corretti. Volevo quindi sapere se ciò potesse accadere.
Non vorrei approfittare ancora una volta della sua gentilezza ma facendo un esercizio simile mi è venuto un'alto dubbio.
Sia $ V= RR3[t] $.
Considerato il sottospazio vettoriale $ U $ = $ span { 1+t^2, -1+t+t^2-t^3, t+2t^2-t3 } $ e il sottospazio $ W $ = $ { a0+a1t+a2+t^2+a3t^3|$ $ { ( a0-a2=0 ),( 2a0-2a2+a1-a3=0):} }$ ho determinato una base per U considerando la matrice
$ A $ = $ ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( -1 , 1 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 2 , -1 ) ) $. Applicando la riduzione a scalini ho trovato $ A $ = $ ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0, 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $. Una base per $ W $ dovrebbe essere rappresentata da i vettori $ ( ( -1 ),( -2 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ e quindi, tornando ai polinomi una base per $ U $ sarebbe $ {-1-2t+t^2, t+t^3} $
Ho ragionato analogamente con W: Ho considerato la matrice $ ( ( 1 , 0 , -1 , 0 ),( 2 , 1 , -2 , -1 ) )$ e ho trovato una base di W composta dai vettori $ ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ che scritti come polinomi sarebbero $ { 1+t^2, t+t^3} $
Ora a occhio mi verrebbe da dire che una base di $ U nn W $ sia $ { t+t^3} $ ma considerando la matrice che ha per colonne le basi di U e W e studiando il ker di quest'ultima mi viene come base dell'intersezione -t+t^3. Ho controllato più volte i calcoli e dovrebbero essere corretti. Volevo quindi sapere se ciò potesse accadere.
Hai ragione... purtroppo ho svolto quest'esercizio meccanicamente senza ragionare e quindi non ho considerato che bastava trovare due righe linearmente indipendenti per avere una base del sottospazio!! grazie per avermelo fatto notare.. =)
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