Esercizio - piano parallelo retta

[Zabr0]

Ciao mi servirebbe un aiutino con questo esercizio, infatti ho calcolo il vettore direzione (che chiamerò $ v $) della retta, intesa come intersezione dei due piani messi a sistema, per poi trovare un vettore ad esso ortogonale che chiamerò $ n $ (così da poter scrivere l'equazione del piano).

$ v=(-1,3,1) $ sempre che non abbia fatto errori di calcolo... ed $ n=(a,b,c) $
Ho quindi imposto $ v•n=0 $ ottenendo $ -1a + 3b +c = 0 $ come devo andare avanti per trovare $ n $ ?

[Magma1]

Prova con il fascio di piani di asse la retta $r: { ( 2x=y+z ),( y=3z+1 ):}$

$Phi: lambda(2x-y-z)+mu(y-3z-1)=0 hArr$

$ (2lambda)x+(-lambda+mu)y+(-lambda-3mu)z-mu=0$

$Phi$ rappresenta il fascio di piani di asse la retta $r$, e a noi ci serve quell'unico piano che contiene la retta e passa per il punto $P=(1, 0, 0)$:

$2lambda -mu=0 hArr m=2lambda$
$ rArr lambda=1, mu=2$

Sostituiamo questi valori nell'equazione del fascio:

$(2)x+(-1+2)y+(-1-6)z-2=0$

$pi: 2x+y-7z-2=0$

L'equazione del piano contenente la retta $r$ e passante per $P$ è proprio $pi$.

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"Zabr0":[...] ottenendo $ -1a + 3b +c = 0 $ come devo andare avanti per trovare $ n $ ?

Hai un'equazione lineare omogenea in tre incognite, pertanto otterrai $oo^2$ soluzioni:

$a=3b+c hArr ((3b+c),(b),(c))=b((3),(1),(0))+c((1),(0),(1))$

Quindi un vettore normale potrebbe essere $((4),(1),(1))$.

[Zabr0]

Grazie mille Magma!