Esercizio piano e rette
Buon giorno a tutti,ho un problema nella seconda parte di questo esercizio
Si consideri il piano π di equazione 2x+y-z
a)determinare la retta r ortogonale a π passante per il punto A=(1,1,0) e trovare il punto di intersezione B di r e π
b)Tra i piani ortogonali a π e pasanti per l'origine.determinare quello passante per A
a)Allora io ho ricavato il vettore direzione del piano π(2,1,-1)
Faccio il sistema per ottenere la r ${ ( x=1+2t ),( y=1+t ),( z=-t ):}$ ricavo t e sostituisco nelle due equazioni
Dopodichè per ottenere il punto d'intersezione faccio il sistema:
${ ( 2x+y-z=0 ),( x=1-2z ),( y=1-z):}$ Cerco i vari valori e trovo il punto.E' giusto fin qui?
b)La seconda richiesta invece non mi è chiara.Devo praticamente creare un piano passante per l'origine?
Grazie mille in anticipo a chi mi aiuterà
Si consideri il piano π di equazione 2x+y-z
a)determinare la retta r ortogonale a π passante per il punto A=(1,1,0) e trovare il punto di intersezione B di r e π
b)Tra i piani ortogonali a π e pasanti per l'origine.determinare quello passante per A
a)Allora io ho ricavato il vettore direzione del piano π(2,1,-1)
Faccio il sistema per ottenere la r ${ ( x=1+2t ),( y=1+t ),( z=-t ):}$ ricavo t e sostituisco nelle due equazioni
Dopodichè per ottenere il punto d'intersezione faccio il sistema:
${ ( 2x+y-z=0 ),( x=1-2z ),( y=1-z):}$ Cerco i vari valori e trovo il punto.E' giusto fin qui?
b)La seconda richiesta invece non mi è chiara.Devo praticamente creare un piano passante per l'origine?
Grazie mille in anticipo a chi mi aiuterà
Risposte
"skianthos90":
b)La seconda richiesta invece non mi è chiara.Devo praticamente creare un piano passante per l'origine?
Certo, passante per l'origine e per il punto $A$ e ortogonale al piano $pi$.
Qualche idea?
Tieni conto che questo piano passa per $O$ e $A$, quindi appartiene al fascio di piani per la retta $OA$...
"cirasa":
[quote="skianthos90"]b)La seconda richiesta invece non mi è chiara.Devo praticamente creare un piano passante per l'origine?
Certo, passante per l'origine e per il punto $A$ e ortogonale al piano $pi$.
Qualche idea?
Tieni conto che questo piano passa per $O$ e $A$, quindi appartiene al fascio di piani per la retta $OA$...[/quote]
Cosa potrei fare?non ho idee
Io ho usato l'equazione del piano generico $pi':ax+by+cz+d=0$ . Poi, ho sfruttato le condizioni di passaggio per $O$ e $A$, e la condizione di perpendicolarità con $pi$.
Determina la retta $[O,A]$ passante per $O,A$.
E' chiaro il fatto che il piano cercato appartiene al fascio di piani passanti per la retta $[O,A]$?
Scrivi l'equazione di questo fascio di piani e scegli fra questi piani quello ortogonale a $pi$.
E' chiaro il fatto che il piano cercato appartiene al fascio di piani passanti per la retta $[O,A]$?
Scrivi l'equazione di questo fascio di piani e scegli fra questi piani quello ortogonale a $pi$.
"Mirino06":la condizione di perpendicolarità ovvero?
Io ho usato l'equazione del piano generico $pi':ax+by+cz+d=0$ . Poi, ho sfruttato le condizioni di passaggio per $O$ e $A$, e la condizione di perpendicolarità con $pi$.
Considera i vettori normali, quando due piani sono perpendicolari. Come sono messi?
Un aiutino? 
...
...
Sono perpendicolari.
"Mirino06":
Sono perpendicolari.
...Ok e quando sono perpendicolari cosa dobbiamo fare?
Prodotto scalare uguale a $0$.
"Mirino06":Il prodotto scalare tra i vettori direzione?
Prodotto scalare uguale a $0$.
Sì, trai vettori normali.
"Mirino06":Grazie mille per la pazienza
Sì, trai vettori normali.
"cirasa":Ok so che la condizione è che la moltiplicazione tra i vettori normali deve dare zero..Ma non so come andare avanti.
Determina la retta $[O,A]$ passante per $O,A$.
E' chiaro il fatto che il piano cercato appartiene al fascio di piani passanti per la retta $[O,A]$?
Scrivi l'equazione di questo fascio di piani e scegli fra questi piani quello ortogonale a $pi$.
$(a,b,c)*(2,1,-1)=0 -> 2a+b-c=0$
Passaggio per $(0,0,0) -> d=0$
Passaggio per $A -> a+b=0$
$\{(2a+b-c=0),(a+b=0):}$
$\{(a=c),(b=-a):}$
Se $a=1 -> b=-1, c=1, d=0$
$\{(a=1),(b=-1),(c=1),(d=0):}$
$pi: x-y+z=0$
Passaggio per $(0,0,0) -> d=0$
Passaggio per $A -> a+b=0$
$\{(2a+b-c=0),(a+b=0):}$
$\{(a=c),(b=-a):}$
Se $a=1 -> b=-1, c=1, d=0$
$\{(a=1),(b=-1),(c=1),(d=0):}$
$pi: x-y+z=0$
"Mirino06":
$(a,b,c)*(2,1,-1)=0 -> 2a+b-c=0$
Passaggio per $(0,0,0) -> d=0$
Passaggio per $A -> a+b=0$
$\{(2a+b-c=0),(a+b=0):}$
$\{(a=c),(b=-a):}$
Se $a=1 -> b=-1, c=1, d=0$
$\{(a=1),(b=-1),(c=1),(d=0):}$
$pi: x-y+z=0$
Perfetto...ma d=0 perchè passa dall'origine?Se fosse passato da un'altro punto?Grazie mille comunque
Sì, perché pasa dall'origine.
Perfetto...ma d=0 perchè passa dall'origine?Se fosse passato da un'altro punto?Grazie mille comunque
"Mirino06":Ma se fosse passato da un altro punto invece?
Sì, perché pasa dall'origine.
Ho fatto il passaggio per A, guardalo.
$A$ era $(1,1,0)$ Il piano è $ax+by+cz+d=0$ Metto $1$ alla $x$, $1$ alla $y$ e $0$ alla $z$, e quindi ottengo $a+b+d=0$. Poi, $d=0$, quindi $a+b=0$
$A$ era $(1,1,0)$ Il piano è $ax+by+cz+d=0$ Metto $1$ alla $x$, $1$ alla $y$ e $0$ alla $z$, e quindi ottengo $a+b+d=0$. Poi, $d=0$, quindi $a+b=0$
"Mirino06":Ok forse non riesco a farmi capire..Ho capito perfettamente ,Ma volevo capire che valore avesse assunto d se non fosse passato per l'origine.
Ho fatto il passaggio per A, guardalo.
$A$ era $(1,1,0)$ Il piano è $ax+by+cz+d=0$ Metto $1$ alla $x$, $1$ alla $y$ e $0$ alla $z$, e quindi ottengo $a+b+d=0$. Poi, $d=0$, quindi $a+b=0$
..Ti ringrazio per la pazienza
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