Esercizio piani problema

[Demostene92]

Ciao a tutti non mi viene un esercizio e non ne riesco a venire a capo

Tra i piani passanti per i due punti $P_1 = (4,0,1)$ e $P_2 = (4,2,-1)$ determinare quelli tangenti alla sfera di equazione $x^2 + y^2 + z^2 = 4$

Io ho ragionato in questo modo: creo il fascio di piani passanti per i due punti e poi impongo che la distanza tra il fascio di piani e il punto $P_0 = (0,0,0)$ sia uguale a $0$, dove con $P_0$ intendo il centro della sfera.

Scrivendo le equazioni parametriche della retta passante per i due punti:

$\{(x-4=0),(y=2t),(z-1=-2t):}$ e passando poi alla forma cartesiana $->$ $\{(y+z-1=0),(x-4=0):}$

Ottengo il fascio di piani: $\lambda(y+z-1)+\mu(x-4)=0 $
Svolgendo i calcoli ottengo il vettore direzionale del piano $v = (\mu, \lambda, \lambda)$

A questo punto imponendo che la distanza tra il piano e il centro della sfera sia $=2$:

$(|-\lambda-4\mu|)/sqrt(\mu^2+\lambda^2+\lambda^2) = 2$

Quadrando e svolgendo i calcoli ottengo: $7\lambda^2 - 12\mu^2 - 8\lambda\mu=0$

Risolvendo in funzione di $\lambda$ ottengo:

$\lambda_1= (4\mu+10)/7$ e poi $\lambda_2=(4\mu-10)/7$

Dando come valore ad esempio $\lambda=1$ ottengo $\mu_1=-3/4$ e $\mu_2 = 17/4$

Andando a risostituire i valori di $\lambda$ e $\mu$ all'interno dell'equazione del fascio di piani ottengo:

$\pi_1: 3x-4y-4z-8=0$ e $\pi_2: 17x+4y+4z-72=0$

Ma i risultati devono essere:

$\pi_1: x+2y+2z-6=0$ e $\pi_2: 7x-6y-6z-22=0$

Non riesco a capire in cosa sbaglio Grazie a tutti

[perplesso1]

"Demostene92":
Quadrando e svolgendo i calcoli ottengo: $7\lambda^2 - 12\mu^2 - 8\lambda\mu=0$

Risolvendo in funzione di $\lambda$ ottengo:

$\lambda_1= (4\mu+10)/7$ e poi $\lambda_2=(4\mu-10)/7$

Sotto la radice $ \mu^2 $ te la sei mangiata?

[Demostene92]

In che senso scusa?
Ho fatto i conti e mi sembrano corretti! Correggimi se sbaglio! (scusa il gioco di parole )

[Demostene92]

Forse nell'equazione di secondo grado viene $+8\lambda\mu$ invece che $-8\lambda\mu$. Mi sbaglio?

[perplesso1]

Risolviamo questa $ 7 \lambda^2 - 8 \mu \lambda - 12 \mu^2 =0 $


$ \lambda_1 = {4 \mu + \sqrt {16\mu^2 + 84 \mu^2} }/7 = {4 \mu + \sqrt {100\mu^2 } }/7 = {4 \mu + 10\mu }/7 = 2\mu $

$\lambda_2 = {4 \mu - \sqrt {16\mu^2 + 84 \mu^2} }/7 = {4 \mu - \sqrt {100\mu^2 } }/7 = {4 \mu - 10\mu }/7 = -{6\mu}/7 $

Adesso non puoi non capire xD

[Demostene92]

Cavolo è vero!! Dannato $\mu$ ahahah
Comunque credo che sia giusto $+8\lambda\mu$.
In ogni caso il problema è impostato correttamente vero?

[perplesso1]

Si l'impostazione è corretta

"Demostene92":
Comunque credo che sia giusto $+8\lambda\mu$.

A me sembra che vada bene il segno meno, poi non so può essere che mi sbaglio

[Demostene92]

Okok ottimo, domani lo riguardo stando più attento ai segni e $\mu$ vari.
Grazie mille