Esercizio numeri complessi
Salve a tutti , ieri avevo questo esercizio sui numeri compessi all'esame di algebra:
Esprimere in forma algebrica le soluzioni di $ (x-2i)^3=-(x+i)^3 $ nell' incognita x.
Ho provato in molti modi a cercare di risolverlo, ma alla fine non sono mai riuscito ad ottenere qualcosa di concreto.
Non capisco che procedimenti bisogna fare per arrivare alla soluzione. Qualcuno gentilmente potrebbe illuminarmi ?
Esprimere in forma algebrica le soluzioni di $ (x-2i)^3=-(x+i)^3 $ nell' incognita x.
Ho provato in molti modi a cercare di risolverlo, ma alla fine non sono mai riuscito ad ottenere qualcosa di concreto.
Non capisco che procedimenti bisogna fare per arrivare alla soluzione. Qualcuno gentilmente potrebbe illuminarmi ?
Risposte
Ciao, nessuno sa come si risolve ?
Ciap kuppe35,
puoi vedere l'equazione come $(x-2i)^3 + (x+i)^3=0$.
poichè è una somma di cubi, vale la solita relazione:
$a^3 +b^3 = (a+b)(a^2 +b^2 -ab)$
$a+b= x-2i + x+i = 2x - i$
Fattorizziamo il polinomio:
$(2x-i)[(x-2i)^2+(x+i)^2 - (x-2i)(x+i)]=0$
La prima soluzione è $x_{1}= i/2$
Sviluppando tutto ciò che è dentro le quadre otteniamo $x^2 - ix -7 = 0$, che porta le altre due soluzioni, che sono complesse coniugate :
$x_{2}= 1/2(i-3sqrt{3}) $
$x_{3}= 1/2(i+3sqrt{3})$
puoi vedere l'equazione come $(x-2i)^3 + (x+i)^3=0$.
poichè è una somma di cubi, vale la solita relazione:
$a^3 +b^3 = (a+b)(a^2 +b^2 -ab)$
$a+b= x-2i + x+i = 2x - i$
Fattorizziamo il polinomio:
$(2x-i)[(x-2i)^2+(x+i)^2 - (x-2i)(x+i)]=0$
La prima soluzione è $x_{1}= i/2$
Sviluppando tutto ciò che è dentro le quadre otteniamo $x^2 - ix -7 = 0$, che porta le altre due soluzioni, che sono complesse coniugate :
$x_{2}= 1/2(i-3sqrt{3}) $
$x_{3}= 1/2(i+3sqrt{3})$
Grazie mille per la risposta , non avrei mai pensato che fosse così immediato da risolvere..
Stavo provando a farne uno simile ma mi sono bloccato in un punto.
l'esercizio è questo : Risolvere l'equazione nell'incognita complessa u: $ u^3= (-sqrt(2)+isqrt(2) )^3 $ esprimendone le soluzioni in forma algebrica.
Vedendo l'equazione come $ u^3-(-sqrt(2)+isqrt(2))^3 =0 $
poichè è una somma di cubi, vale la relazione: $ a^3 -b^3 = (a-b)(a^2 +b^2 +ab) $
$ a-b= u-(-sqrt(2)+isqrt(2))=0 $
$ u=-sqrt(2)+isqrt(2)$ prima soluzione
$ (a^2+ab+b^2)=u^2+u(-sqrt(2)+isqrt(2))+2-4i-2=0 $
$ u^2+u(-sqrt(2)+sqrt(2)i)-4i=0 $
$ u_12=(sqrt(2)-sqrt(2)i+-sqrt(12i))/2 $ ottenendo le altre 2 soluzioni in forma algebrica.
Ora volevo sapere se $ sqrt(12i) $ va lasciata così com'è oppure trattata in qualche modo..
Inoltre tanto per essere più sicuro è giusto procedere come fatto,vero?
Stavo provando a farne uno simile ma mi sono bloccato in un punto.
l'esercizio è questo : Risolvere l'equazione nell'incognita complessa u: $ u^3= (-sqrt(2)+isqrt(2) )^3 $ esprimendone le soluzioni in forma algebrica.
Vedendo l'equazione come $ u^3-(-sqrt(2)+isqrt(2))^3 =0 $
poichè è una somma di cubi, vale la relazione: $ a^3 -b^3 = (a-b)(a^2 +b^2 +ab) $
$ a-b= u-(-sqrt(2)+isqrt(2))=0 $
$ u=-sqrt(2)+isqrt(2)$ prima soluzione
$ (a^2+ab+b^2)=u^2+u(-sqrt(2)+isqrt(2))+2-4i-2=0 $
$ u^2+u(-sqrt(2)+sqrt(2)i)-4i=0 $
$ u_12=(sqrt(2)-sqrt(2)i+-sqrt(12i))/2 $ ottenendo le altre 2 soluzioni in forma algebrica.
Ora volevo sapere se $ sqrt(12i) $ va lasciata così com'è oppure trattata in qualche modo..
Inoltre tanto per essere più sicuro è giusto procedere come fatto,vero?
Ciao, per le equazioni come l'ultima che hai postato ti consiglio di sfruttare al meglio la forma trigonometrica di un numero complesso. Hai scritto correttamente una soluzione in forma algebrica, le altre due potrebbero anche essere corrette, però non mi risulta che siano in forma algebrica.
La forma algebrica di un numero complesso è data in forma: $a+ib$, con $a$ e $b$ reali.
La forma trigonometrica di un numero complesso è espressa nella seguente forma: $ rho (cosalpha +isinalpha ) $, dove:
$ rho =sqrt(a^2+b^2) $ ,
$ cosalpha = a/rho $ , $ sinalpha = b/rho $
Prendiamo il tuo esercizio: $ x^3=(-sqrt2+isqrt2)^3 $
Consideriamo $ w=-sqrt2+isqrt2 $ ed esprimiamolo in forma trigonometrica:
Si ha: $ rho=sqrt((-sqrt2)^2+(sqrt2)^2)=2 $
$ cosalpha=-sqrt2/2 $ , $ sinalpha=sqrt2/2 $ , il cui angolo associato è $ alpha=3/4pi $
Possiamo quindi esprimere la forma trigonometrica del numero complesso: $ 2(cos(3/4pi)+isin(3/4pi)) $
Abbiamo quindi ottenuto: $ x^3=(2(cos(3/4pi)+isin(3/4pi))^3 $
Procediamo elevando il nostro numero complesso alla terza mediante la seguente formula:
$ w^n=rho^n(cos(nalpha)+isin(nalpha)) $ , ottenendo:
$ x^3=8(cos(9/4pi)+isin(9/4pi)) $, che si può anche esprimere in questo modo:
$ x^3=8(cos(pi/4)+isin(pi/4)) $
Si tratta quindi di risolvere un'equazione a coefficienti complessi di terzo grado, allora sappiamo che presenta sicuramente tre soluzioni complesse. La formula risolutiva generale è la seguente:
$ beta _k=root(n)(rho)(cos((alpha+2kpi)/n)+isin((alpha+2kpi)/n)) $ , dove $n$ è il grado del polinomio. Nel nostro caso sarà:
$ x_k=root(3)(8)(cos(((pi/4)+2kpi)/3)+isin(((pi/4)+2kpi)/3)) $
Infine devi iterare su $k$ da $0$ a $n-1$, cioè sostituire nell'ultima equazione:
$k=0$
$k=1$
$k=2$
Per ogni $k$ sostituito hai una soluzione. Sviluppando i calcoli ottieni le soluzioni in forma algebrica $a+ib$.
Per $k=0$ hai:
$ x_0=2(cos((pi/4+0)/3)+isin((pi/4+0)/3))=(sqrt6+sqrt2)/2+i(sqrt6-sqrt2)/2 $
Per $k=1$ hai:
$ x_1=2(cos((pi/4+2pi)/3)+isin((pi/4+2pi)/3))=-sqrt2+isqrt2$
Per $k=2$ hai:
$ x_2=2(cos((pi/4+4pi)/3)+isin((pi/4+4pi)/3))$
La forma algebrica di un numero complesso è data in forma: $a+ib$, con $a$ e $b$ reali.
La forma trigonometrica di un numero complesso è espressa nella seguente forma: $ rho (cosalpha +isinalpha ) $, dove:
$ rho =sqrt(a^2+b^2) $ ,
$ cosalpha = a/rho $ , $ sinalpha = b/rho $
Prendiamo il tuo esercizio: $ x^3=(-sqrt2+isqrt2)^3 $
Consideriamo $ w=-sqrt2+isqrt2 $ ed esprimiamolo in forma trigonometrica:
Si ha: $ rho=sqrt((-sqrt2)^2+(sqrt2)^2)=2 $
$ cosalpha=-sqrt2/2 $ , $ sinalpha=sqrt2/2 $ , il cui angolo associato è $ alpha=3/4pi $
Possiamo quindi esprimere la forma trigonometrica del numero complesso: $ 2(cos(3/4pi)+isin(3/4pi)) $
Abbiamo quindi ottenuto: $ x^3=(2(cos(3/4pi)+isin(3/4pi))^3 $
Procediamo elevando il nostro numero complesso alla terza mediante la seguente formula:
$ w^n=rho^n(cos(nalpha)+isin(nalpha)) $ , ottenendo:
$ x^3=8(cos(9/4pi)+isin(9/4pi)) $, che si può anche esprimere in questo modo:
$ x^3=8(cos(pi/4)+isin(pi/4)) $
Si tratta quindi di risolvere un'equazione a coefficienti complessi di terzo grado, allora sappiamo che presenta sicuramente tre soluzioni complesse. La formula risolutiva generale è la seguente:
$ beta _k=root(n)(rho)(cos((alpha+2kpi)/n)+isin((alpha+2kpi)/n)) $ , dove $n$ è il grado del polinomio. Nel nostro caso sarà:
$ x_k=root(3)(8)(cos(((pi/4)+2kpi)/3)+isin(((pi/4)+2kpi)/3)) $
Infine devi iterare su $k$ da $0$ a $n-1$, cioè sostituire nell'ultima equazione:
$k=0$
$k=1$
$k=2$
Per ogni $k$ sostituito hai una soluzione. Sviluppando i calcoli ottieni le soluzioni in forma algebrica $a+ib$.
Per $k=0$ hai:
$ x_0=2(cos((pi/4+0)/3)+isin((pi/4+0)/3))=(sqrt6+sqrt2)/2+i(sqrt6-sqrt2)/2 $
Per $k=1$ hai:
$ x_1=2(cos((pi/4+2pi)/3)+isin((pi/4+2pi)/3))=-sqrt2+isqrt2$
Per $k=2$ hai:
$ x_2=2(cos((pi/4+4pi)/3)+isin((pi/4+4pi)/3))$
Grazie della risposta precisa e anche fin troppo chiara 
,è impossibile non capirla, gentilissimo!!!
,è impossibile non capirla, gentilissimo!!!
Di niente, figurati 
Ti consiglio di guardarti anche le altre formule applicabili alla forma trigonometrica come prodotto di numeri complessi espressi in forma trigonometrica e la divisione. Sono formule che potresti trovare molto utili in diverse circostanze.
Ti consiglio di guardarti anche le altre formule applicabili alla forma trigonometrica come prodotto di numeri complessi espressi in forma trigonometrica e la divisione. Sono formule che potresti trovare molto utili in diverse circostanze.
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