Esercizio nucleo e immagine
Sia f : R3 → R4 l’applicazione lineare individuata dalle condizioni
f (0, 0, 3) = (1, 0, 2, 1), f(1, 2, 0) = (0, −1, 1, 1), f(−1, 0, 0) = (2, 1, 3, 1) .
(i) Determinare ker f e im f.
(ii) Calcolare f (1, 0, 6).
Io arrivo fino a calcolare la matrice associata all'applicazione risolvendo i sistemi:
$ { ( 3x_3=1|0|2|\1 ),( x_1+2x_2=0|-2|\1|1 ),( -x_1=2|1|3|1 ):} $
(non avevo voglia di scrivere 3 sistemi quindi le barre verticali stanno a indicare i termini noti dei vari sistemi...)
Arrivando a trovare la matrice associata all'applicazione.
Poi?
Grazie!
f (0, 0, 3) = (1, 0, 2, 1), f(1, 2, 0) = (0, −1, 1, 1), f(−1, 0, 0) = (2, 1, 3, 1) .
(i) Determinare ker f e im f.
(ii) Calcolare f (1, 0, 6).
Io arrivo fino a calcolare la matrice associata all'applicazione risolvendo i sistemi:
$ { ( 3x_3=1|0|2|\1 ),( x_1+2x_2=0|-2|\1|1 ),( -x_1=2|1|3|1 ):} $
(non avevo voglia di scrivere 3 sistemi quindi le barre verticali stanno a indicare i termini noti dei vari sistemi...)
Arrivando a trovare la matrice associata all'applicazione.
Poi?
Grazie!
Risposte
@Mandiatutti,
mm impara sin da subito a usare la codifica (non è difficile, e "attento")... dovresti avere più voglia a scrivere le cose, dato il fatto anche che sei l'autore del topic; io non capisco quel sistema, sii più chiaro per favore..!! 
Saluti
P.S.= Hai per caso questi:
$ { ( 3x_3=1 ),( x_1+2x_2=0 ),( -x_1=2 ):} $
$ { ( 3x_3=0),( x_1+2x_2=-2 ),( -x_1=1):} $
$ { ( 3x_3=2 ),( x_1+2x_2=1),( -x_1=3 ):} $
$ { ( 3x_3=\1 ),( x_1+2x_2=1 ),( -x_1=1 ):} $
???
E poi, matrice associata ad \(f \) rispetto alla base canonica?
"Mandiatutti":
Sia \(f : \Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}^4\) l’applicazione lineare individuata dalle condizioni
\(f (0, 0, 3) = (1, 0, 2, 1)\)
\( f(1, 2, 0) = (0, −1, 1, 1)\)
\( f(−1, 0, 0) = (2, 1, 3, 1) \)
(i) Determinare \( \ker(f) \) e \( \mbox{im}(f) \)
(ii) Calcolare \(f (1, 0, 6)\)
Io arrivo fino a calcolare la matrice associata all'applicazione risolvendo i sistemi:
$ { ( 3x_3=1|0|2|\1 ),( x_1+2x_2=0|-2|\1|1 ),( -x_1=2|1|3|1 ):} $
(non avevo voglia di scrivere 3 sistemi quindi le barre verticali stanno a indicare i termini noti dei vari sistemi...)
Arrivando a trovare la matrice associata all'applicazione.
Poi?
Grazie!
mm impara sin da subito a usare la codifica (non è difficile, e "attento")... dovresti avere più voglia a scrivere le cose, dato il fatto anche che sei l'autore del topic; io non capisco quel sistema, sii più chiaro per favore..!! Saluti
P.S.= Hai per caso questi:
$ { ( 3x_3=1 ),( x_1+2x_2=0 ),( -x_1=2 ):} $
$ { ( 3x_3=0),( x_1+2x_2=-2 ),( -x_1=1):} $
$ { ( 3x_3=2 ),( x_1+2x_2=1),( -x_1=3 ):} $
$ { ( 3x_3=\1 ),( x_1+2x_2=1 ),( -x_1=1 ):} $
???
E poi, matrice associata ad \(f \) rispetto alla base canonica?
I sistemi sono quelli che hai scritto tu esatto... Mi scuso per la formattazione del testo, ma ho fatto un copia-incolla da un es. che ho trovato online e non ha mantenuto la formattazione originale e non me ne sono accorto... In futuro farò più attenzione... Comunque non saprei dirti secondo quale base, nell'esercizio non è specificato. Posto i risultati: (i) ker f = {(0, y, −3y) : y ∈ R}, im f = {(a, −b, 2a + b, a + b) : a, b ∈ R}.
(ii) f (1, 0, 6) = (0, −1, 1, 1).
(ii) f (1, 0, 6) = (0, −1, 1, 1).
@Mandiatutti,
ok, lasciamo stare per il momento i risultati.. ragioniamo che è meglio (o almeno è il mio modo di ragionare
), gli elementi del \( \ker(f) \) sono gli elementi di \( (x,y,z) \in \Bbb{R}^3\) tali che \( f((x,y,z))=(0,0,0,0) \), per definizione di \( \ker(f) \)... prendi un \( (x,y,z) \in \Bbb{R}^3 \), sai che certamente rispetto ad una base di \( \Bbb{R}^3 \), per esempio la canonica \( (e_1,e_2,e_3) \), è vero che $$ (x,y,z)=a_1 e_1+a_2 e_2+ a_3 e_3 $$ e nel valutare \( f((x,y,z))\) avremo $$f((x,y,z))=f(a_1 e_1+a_2 e_2+ a_3 e_3) $$ applicando la def. di applicazione lineare hai $$f((x,y,z))=a_1f(e_1)+a_2f(e_2)+a_3f(e_3) $$... dobbiamo adesso valutare \( f((x,y,z))=(0,0,0,0)\), ma prima ancora dobbiamo determinare \( f(e_1),f(e_2),f(e_3) \)... sai come fare? Dubbi sin qui?
Saluti
"Mandiatutti":
I sistemi sono quelli che hai scritto tu esatto... Mi scuso per la formattazione del testo, ma ho fatto un copia-incolla da un es. che ho trovato online e non ha mantenuto la formattazione originale e non me ne sono accorto... In futuro farò più attenzione... Comunque non saprei dirti secondo quale base, nell'esercizio non è specificato. Posto i risultati: (i) ker f = {(0, y, −3y) : y ∈ R}, im f = {(a, −b, 2a + b, a + b) : a, b ∈ R}.
(ii) f (1, 0, 6) = (0, −1, 1, 1).
ok, lasciamo stare per il momento i risultati.. ragioniamo che è meglio (o almeno è il mio modo di ragionare
), gli elementi del \( \ker(f) \) sono gli elementi di \( (x,y,z) \in \Bbb{R}^3\) tali che \( f((x,y,z))=(0,0,0,0) \), per definizione di \( \ker(f) \)... prendi un \( (x,y,z) \in \Bbb{R}^3 \), sai che certamente rispetto ad una base di \( \Bbb{R}^3 \), per esempio la canonica \( (e_1,e_2,e_3) \), è vero che $$ (x,y,z)=a_1 e_1+a_2 e_2+ a_3 e_3 $$ e nel valutare \( f((x,y,z))\) avremo $$f((x,y,z))=f(a_1 e_1+a_2 e_2+ a_3 e_3) $$ applicando la def. di applicazione lineare hai $$f((x,y,z))=a_1f(e_1)+a_2f(e_2)+a_3f(e_3) $$... dobbiamo adesso valutare \( f((x,y,z))=(0,0,0,0)\), ma prima ancora dobbiamo determinare \( f(e_1),f(e_2),f(e_3) \)... sai come fare? Dubbi sin qui?Saluti
@garnak.olegovitc
Fino a qua ci sono, per determinare f(e1),f(e2),f(e3) no, non saprei come fare... Neanche la più pallida idea... Mi dispiace.
Fino a qua ci sono, per determinare f(e1),f(e2),f(e3) no, non saprei come fare... Neanche la più pallida idea... Mi dispiace.
@Mandiatutti,
i vettori che hai per ipotesi (quelli dei quali sai l'immagine) generano \( \Bbb{R}^3 \) ??
Saluti
"Mandiatutti":
@garnak.olegovitc
Fino a qua ci sono, per determinare f(e1),f(e2),f(e3) no, non saprei come fare... Neanche la più pallida idea... Mi dispiace.
i vettori che hai per ipotesi (quelli dei quali sai l'immagine) generano \( \Bbb{R}^3 \) ??
Saluti
"garnak.olegovitc":
@Mandiatutti,
[quote="Mandiatutti"]@garnak.olegovitc
Fino a qua ci sono, per determinare f(e1),f(e2),f(e3) no, non saprei come fare... Neanche la più pallida idea... Mi dispiace.
i vettori che hai per ipotesi (quelli dei quali sai l'immagine) generano \( \Bbb{R}^3 \) ??
Saluti[/quote]
Secondo i miei calcoli, riducendo a scala la matrice formata dai vettori (0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0),
mi risulta dimensione 3, quindi si, genera $ R^3 $
@Mandiatutti,
i vettori che hai per ipotesi (quelli dei quali sai l'immagine) generano \( \Bbb{R}^3 \) ??
Saluti[/quote]
Secondo i miei calcoli, riducendo a scala la matrice formata dai vettori (0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0),
mi risulta dimensione 3, quindi si, genera $ R^3 $[/quote]
esatto, i tre vettori sono liberi ed essendo \( 3 = \dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3) \), allora sono anche base e quindi, per definizione generano anche \( \Bbb{R}^3 \), allora \( e_1,e_2,e_3 \in \mathcal{L}((0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0)) \), ovvero sono combinazione lineare dei vettori \( (0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0) \).... sei capace di intuire adesso il prossimo passaggio?
Sauti
P.S.=Ovviamente puoi usare la base che ti da l'esercizio per ipotesi, se non vuoi ricavare la base canonica, procedendo giustamente!
"Mandiatutti":
[quote="garnak.olegovitc"]@Mandiatutti,
[quote="Mandiatutti"]@garnak.olegovitc
Fino a qua ci sono, per determinare f(e1),f(e2),f(e3) no, non saprei come fare... Neanche la più pallida idea... Mi dispiace.
i vettori che hai per ipotesi (quelli dei quali sai l'immagine) generano \( \Bbb{R}^3 \) ??
Saluti[/quote]
Secondo i miei calcoli, riducendo a scala la matrice formata dai vettori (0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0),
mi risulta dimensione 3, quindi si, genera $ R^3 $[/quote]
esatto, i tre vettori sono liberi ed essendo \( 3 = \dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3) \), allora sono anche base e quindi, per definizione generano anche \( \Bbb{R}^3 \), allora \( e_1,e_2,e_3 \in \mathcal{L}((0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0)) \), ovvero sono combinazione lineare dei vettori \( (0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0) \).... sei capace di intuire adesso il prossimo passaggio?
Sauti
P.S.=Ovviamente puoi usare la base che ti da l'esercizio per ipotesi, se non vuoi ricavare la base canonica, procedendo giustamente!
Avendo trovato la dimensione della matrice formata dai vettori, potremmo calcolarci la dimensione e le basi del nucleo risolvendo il sistema:
$ { ( 3x_3=0 ),( x_1+2x_2=0 ),( -x_1=0 ):} $
Da esso risulta: $ { ( x_1=0 ),( x_2=0 ),( x_3=0 ):} $
Quindi Il nucleo della matrice = 0 (vettore nullo). Quindi è iniettiva.
Poi con il teorema della dimensione: $ dim(N)+dim(Im)=dim(A) $
dove A in questo caso è la matrice associata all'applicazione.
Quindi possiamo calcolarci la dimensione dell'immagine e dai vettori che ci vengono dati all'inizio ((1, 0, 2, 1),(0, −1, 1, 1),(2, 1, 3, 1)) ne scegliamo tanti quanti la dimensione dell'immagine e che siano indipendenti fra loro.
Io lo svolgerei così, ma non so se è giusto. Sono particolarmente incerto sul calcolo dell'immagine...
L'ultimo punto non saprei proprio come farlo...
$ { ( 3x_3=0 ),( x_1+2x_2=0 ),( -x_1=0 ):} $
Da esso risulta: $ { ( x_1=0 ),( x_2=0 ),( x_3=0 ):} $
Quindi Il nucleo della matrice = 0 (vettore nullo). Quindi è iniettiva.
Poi con il teorema della dimensione: $ dim(N)+dim(Im)=dim(A) $
dove A in questo caso è la matrice associata all'applicazione.
Quindi possiamo calcolarci la dimensione dell'immagine e dai vettori che ci vengono dati all'inizio ((1, 0, 2, 1),(0, −1, 1, 1),(2, 1, 3, 1)) ne scegliamo tanti quanti la dimensione dell'immagine e che siano indipendenti fra loro.
Io lo svolgerei così, ma non so se è giusto. Sono particolarmente incerto sul calcolo dell'immagine...
L'ultimo punto non saprei proprio come farlo...
@Mandiatutti,
i tre vettori per ipotesi sono liberi ed essendo \( 3 = \dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3) \), allora sono anche base e quindi, per definizione generano anche \( \Bbb{R}^3 \), allora \( e_1,e_2,e_3 \in \mathcal{L}((0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0)) \), ovvero sono combinazione lineare dei vettori \( (0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0) \).... ed in particolare avremo:
\( e_1 =0\cdot(0,0,3)+0\cdot (1,2,0)-1\cdot (-1,0,0)\)
\( e_2 =0\cdot(0,0,3)+\frac{1}{2}\cdot (1,2,0)+\frac{1}{2}\cdot (-1,0,0)\)
\( e_3 =\frac{1}{3}\cdot(0,0,3)+0\cdot (1,2,0)+0\cdot (-1,0,0)\)
da qui possiamo subito dedurre le immagine \( f(e_1),f(e_2),f(e_3) \), ovvero
\( f(e_1) =f(-1\cdot (-1,0,0))\)
\( f(e_2) =f(\frac{1}{2}\cdot (1,2,0)+\frac{1}{2}\cdot (-1,0,0))\)
\( f(e_3) =f(\frac{1}{3}\cdot(0,0,3))\)
essendo \( f \) un omomorfismo allora avremo:
\( f(e_1) =-1\cdot f((-1,0,0))\)
\( f(e_2) =\frac{1}{2}\cdot f((1,2,0))+\frac{1}{2}\cdot f( (-1,0,0))\)
\( f(e_3) =\frac{1}{3}\cdot f((0,0,3))\)
ma per ipotesi avevamo note le immagini di \( (0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0) \), ergo sostituendo avremo:
\( f(e_1) =-1\cdot (2,1,3,1)\)
\( f(e_2) =\frac{1}{2}\cdot (0,-1,1,1)+\frac{1}{2}\cdot (2,1,3,1)\)
\( f(e_3) =\frac{1}{3}\cdot (1,0,2.1)\)
rifacendo un po i calcoli avremo che
\( f(e_1) =(-2,-1,-3,-1)\)
\( f(e_2) =(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})+(1,\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2})=(1,0,2,1)\)
\( f(e_3) =(\frac{1}{3},0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})\)
adesso possiamo possiamo continuare con quanto detto prima:
quindi $$ f((x,y,z))=a_1\cdot (-2,-1,-3,-1) + a_2 \cdot (1,0,2,1) +a_3 \cdot (\frac{1}{3},0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})= (0,0,0,0) $$ da qui ti calcoli i coefficienti \( a_1,a_2,a_3 \) sapendo così quali vettori di \( \Bbb{R}^3 \) sono elementi del \( ker(f ) \), sarà moolto più facile valutare la \( \dim_{\Bbb{R}}(ker(f)) \) e di conseguenza anche dell' \(im(f) \)... questo è come procedo io!!
Saluti
P.S.
non ti seguo, "Avendo trovato la dimensione della matrice formata dai vettori" a cosa ti riferisci realmente?
P.S._1=SPero non aver fatto errori di calcolo!!
i tre vettori per ipotesi sono liberi ed essendo \( 3 = \dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3) \), allora sono anche base e quindi, per definizione generano anche \( \Bbb{R}^3 \), allora \( e_1,e_2,e_3 \in \mathcal{L}((0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0)) \), ovvero sono combinazione lineare dei vettori \( (0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0) \).... ed in particolare avremo:
\( e_1 =0\cdot(0,0,3)+0\cdot (1,2,0)-1\cdot (-1,0,0)\)
\( e_2 =0\cdot(0,0,3)+\frac{1}{2}\cdot (1,2,0)+\frac{1}{2}\cdot (-1,0,0)\)
\( e_3 =\frac{1}{3}\cdot(0,0,3)+0\cdot (1,2,0)+0\cdot (-1,0,0)\)
da qui possiamo subito dedurre le immagine \( f(e_1),f(e_2),f(e_3) \), ovvero
\( f(e_1) =f(-1\cdot (-1,0,0))\)
\( f(e_2) =f(\frac{1}{2}\cdot (1,2,0)+\frac{1}{2}\cdot (-1,0,0))\)
\( f(e_3) =f(\frac{1}{3}\cdot(0,0,3))\)
essendo \( f \) un omomorfismo allora avremo:
\( f(e_1) =-1\cdot f((-1,0,0))\)
\( f(e_2) =\frac{1}{2}\cdot f((1,2,0))+\frac{1}{2}\cdot f( (-1,0,0))\)
\( f(e_3) =\frac{1}{3}\cdot f((0,0,3))\)
ma per ipotesi avevamo note le immagini di \( (0,0,3),(1,2,0),(-1,0,0) \), ergo sostituendo avremo:
\( f(e_1) =-1\cdot (2,1,3,1)\)
\( f(e_2) =\frac{1}{2}\cdot (0,-1,1,1)+\frac{1}{2}\cdot (2,1,3,1)\)
\( f(e_3) =\frac{1}{3}\cdot (1,0,2.1)\)
rifacendo un po i calcoli avremo che
\( f(e_1) =(-2,-1,-3,-1)\)
\( f(e_2) =(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})+(1,\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2})=(1,0,2,1)\)
\( f(e_3) =(\frac{1}{3},0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})\)
adesso possiamo possiamo continuare con quanto detto prima:
"garnak.olegovitc":
ok, lasciamo stare per il momento i risultati.. ragioniamo che è meglio (o almeno è il mio modo di ragionare
Saluti
quindi $$ f((x,y,z))=a_1\cdot (-2,-1,-3,-1) + a_2 \cdot (1,0,2,1) +a_3 \cdot (\frac{1}{3},0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})= (0,0,0,0) $$ da qui ti calcoli i coefficienti \( a_1,a_2,a_3 \) sapendo così quali vettori di \( \Bbb{R}^3 \) sono elementi del \( ker(f ) \), sarà moolto più facile valutare la \( \dim_{\Bbb{R}}(ker(f)) \) e di conseguenza anche dell' \(im(f) \)... questo è come procedo io!!
Saluti
P.S.
"Mandiatutti":
Avendo trovato la dimensione della matrice formata dai vettori, potremmo calcolarci la dimensione e le basi del nucleo risolvendo il sistema:
$ { ( 3x_3=0 ),( x_1+2x_2=0 ),( -x_1=0 ):} $
Da esso risulta: $ { ( x_1=0 ),( x_2=0 ),( x_3=0 ):} $
Quindi Il nucleo della matrice = 0 (vettore nullo). Quindi è iniettiva.
Poi con il teorema della dimensione: $ dim(N)+dim(Im)=dim(A) $
dove A in questo caso è la matrice associata all'applicazione.
Quindi possiamo calcolarci la dimensione dell'immagine e dai vettori che ci vengono dati all'inizio ((1, 0, 2, 1),(0, −1, 1, 1),(2, 1, 3, 1)) ne scegliamo tanti quanti la dimensione dell'immagine e che siano indipendenti fra loro.
Io lo svolgerei così, ma non so se è giusto. Sono particolarmente incerto sul calcolo dell'immagine...
L'ultimo punto non saprei proprio come farlo...
non ti seguo, "Avendo trovato la dimensione della matrice formata dai vettori" a cosa ti riferisci realmente?
P.S._1=SPero non aver fatto errori di calcolo!!
Intendevo la matrice formata dai vettori (0, 0, 3),(1, 2, 0)(−1, 0, 0). Il tuo metodo l'ho seguito e capito. E' molto preciso e logico.
@Mandiatutti,
bene.. come ti vengono il \( ker \) e l'\(Im\) ?!
Saluti
"Mandiatutti":
Intendevo la matrice formata dai vettori (0, 0, 3),(1, 2, 0)(−1, 0, 0). Il tuo metodo l'ho seguito e capito. E' molto preciso e logico.
bene.. come ti vengono il \( ker \) e l'\(Im\) ?!
Saluti
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