Esercizio metriche topologicamente equivalenti
Buonasera,
ho questa distanza $d'(x,y) = \sqrt (|x-y|)$ sull'insieme $R$ e vale $\forall x, y \in R$.
Devo dimostrare che questa è effettivamente una metrica. Quindi procedo con i seguenti punti
i) $\forall x, y \in R$, $\sqrt(|x-y|) = \sqrt(|y-x|)$ [prop. simmetrica]
ii) $\sqrt(|x-y|) = 0$ se e solo se $x = y$
iii) $\forall x, y \in R$, $\sqrt(|x-y|) >= 0$
iv) Disuguaglianza triangolare ... e qui mi blocco... la mia idea era dimostrare che $\forall x, y, z \in R$, $d'(x,y) \leq d'(x,z) + d'(y,z)$ ma non saprei come procedere..
Dopodichè dovrei dimostrare che induce la topologia euclidea ...
Ogni sottoinsieme aperto di $R$ è unione di palle di centro $x$ e raggio $r > 0$. Quindi ho pensato di far vedere che per ogni aperto di $R$, $A \subseteq R$ esiste un $r_x > 0$ tale che è possibile scriverlo come unione di palle.
Quindi $\forall x \in A$ devo dimostrare che esiste un $r_x$ positivo tale che $\sqrt(|x-y|) < r_x$ ...
Ma anche questo punto non mi è chiaro...
Dovrei anche dimostrare che non esistono due costanti $c, c'$ strettamente positive tali per cui $c d'(x,y) \leq |x-y| \leq c' d'(x,y)$. QUa ho pensato di procedere così..
Se pongo $|x-y| = d(x,y)$ trovo che $d'(x,y) = \sqrt(d(x,y))$ ovvero che $\forall x,y \in R$, $d'(x,y) \leq d(x,y)$ e quindi per ogni $r>0$ si ha che $B_d(x,r) \subseteq B_d' (x,r)$... Quindi qui avrei trovato la costante $c = 1$ giusto?
Perchè possiamo dire che la topologia indotta da d' è meno fine della topologia indotta da d.
Se questo che ho detto è giusto mi mancherebbe dimostrare che non esiste $c' > 0$ tale che $d(x,y) \leq c' d'(x,y)$ per ogni x,y reali.
Quindi $|x-y| \leq c' \sqrt(|x-y|)$ e quindi troverei $c' >= |x-y|$ per ogni x,y reali.. Ma in questo caso non esiste perchè se $x = y$ la costante $c'$ si annulla?
Oppure non ci ho capito niente io e ... mi indirizzate meglio sul ragionamento che dovrei seguire..
Grazie di cuore a tutti
ho questa distanza $d'(x,y) = \sqrt (|x-y|)$ sull'insieme $R$ e vale $\forall x, y \in R$.
Devo dimostrare che questa è effettivamente una metrica. Quindi procedo con i seguenti punti
i) $\forall x, y \in R$, $\sqrt(|x-y|) = \sqrt(|y-x|)$ [prop. simmetrica]
ii) $\sqrt(|x-y|) = 0$ se e solo se $x = y$
iii) $\forall x, y \in R$, $\sqrt(|x-y|) >= 0$
iv) Disuguaglianza triangolare ... e qui mi blocco... la mia idea era dimostrare che $\forall x, y, z \in R$, $d'(x,y) \leq d'(x,z) + d'(y,z)$ ma non saprei come procedere..
Dopodichè dovrei dimostrare che induce la topologia euclidea ...
Ogni sottoinsieme aperto di $R$ è unione di palle di centro $x$ e raggio $r > 0$. Quindi ho pensato di far vedere che per ogni aperto di $R$, $A \subseteq R$ esiste un $r_x > 0$ tale che è possibile scriverlo come unione di palle.
Quindi $\forall x \in A$ devo dimostrare che esiste un $r_x$ positivo tale che $\sqrt(|x-y|) < r_x$ ...
Ma anche questo punto non mi è chiaro...
Dovrei anche dimostrare che non esistono due costanti $c, c'$ strettamente positive tali per cui $c d'(x,y) \leq |x-y| \leq c' d'(x,y)$. QUa ho pensato di procedere così..
Se pongo $|x-y| = d(x,y)$ trovo che $d'(x,y) = \sqrt(d(x,y))$ ovvero che $\forall x,y \in R$, $d'(x,y) \leq d(x,y)$ e quindi per ogni $r>0$ si ha che $B_d(x,r) \subseteq B_d' (x,r)$... Quindi qui avrei trovato la costante $c = 1$ giusto?
Perchè possiamo dire che la topologia indotta da d' è meno fine della topologia indotta da d.
Se questo che ho detto è giusto mi mancherebbe dimostrare che non esiste $c' > 0$ tale che $d(x,y) \leq c' d'(x,y)$ per ogni x,y reali.
Quindi $|x-y| \leq c' \sqrt(|x-y|)$ e quindi troverei $c' >= |x-y|$ per ogni x,y reali.. Ma in questo caso non esiste perchè se $x = y$ la costante $c'$ si annulla?
Oppure non ci ho capito niente io e ... mi indirizzate meglio sul ragionamento che dovrei seguire..
Grazie di cuore a tutti
Risposte
È molto facile dimostrare la disuguaglianza triangolare. Se elevi tutto al quadrato vedi subito che segue dalla disuguaglianza triangolare per il valore assoluto.
Per le costanti, io ho pensato questo: prendi \( x = \epsilon^2/2 \) e \( y = -\epsilon^2/2 \), per un qualche \( \epsilon > 0 \). Allora hai che ogni c de genere dev'essere 0 (fai tu i conti io sono da telefono).
Per far vedere che la distanza nuova induce la topologia euclidea, ti basta notare che le palle sono le stesse per le due distanze. (perché questo è sufficiente?)
Tra l'altro, questo esercizio mette in luce una cosa strana alla quale non avevo pensato prima dei tuoi post: le affermazioni
1. due distanze sono equivalenti;
2. due distanza sono uniformemente equivalenti;
3. esistono costanti tali che bla bla
non sono equivalenti (ovviamente è 3 => 2 => 1).
Per le costanti, io ho pensato questo: prendi \( x = \epsilon^2/2 \) e \( y = -\epsilon^2/2 \), per un qualche \( \epsilon > 0 \). Allora hai che ogni c de genere dev'essere 0 (fai tu i conti io sono da telefono).
Per far vedere che la distanza nuova induce la topologia euclidea, ti basta notare che le palle sono le stesse per le due distanze. (perché questo è sufficiente?)
Tra l'altro, questo esercizio mette in luce una cosa strana alla quale non avevo pensato prima dei tuoi post: le affermazioni
1. due distanze sono equivalenti;
2. due distanza sono uniformemente equivalenti;
3. esistono costanti tali che bla bla
non sono equivalenti (ovviamente è 3 => 2 => 1).
Ciao, buongiorno!
Allora provando a rifare da capo...
1) Per la disuguaglianza triangolare troverei quanto segue,
$\sqrt(|x-y|) \leq \sqrt(|x-z|) + \sqrt(|y-z|)$
da cui, elevando al quadrato otterrei
$|x-y| \leq |x-z| + |y-z| + 2 \sqrt(|x-z|) \sqrt(|y-z|)$
Dalla disuguaglianza triangolare sappiamo che $|x-y| \leq |x-z| + |y-z|$ perchè il valore assoluto è una distanza... (giusto?) si ottiene che la disuguaglianza è verificata sempre in quanto $2 \sqrt(|x-z|) \sqrt(|y-z|)$ è sempre maggiore o uguale a 0.
2) Per quanto riguarda questo secondo punto non ho ben chiaro cosa siano questi $x$ e $y$ definiti da te né il motivo per cui li hai definiti così....
Ma come scrivevo nella domanda ... Avrei trovato la costante positiva c tale che $c d'(x,y) \leq |x-y|$ e tale costante sarebbe 1 . Infatti per $c= 1 > 0$ si ha sempre $\sqrt(d(x,y)) \leq d(x,y)$ ponendo $d(x,y) = |x-y|$ ...
Per quanto riguarda la dimostrazione dell'esistenza della costante $c' >0$ non riesco a comprendere come mai non dovrebbe esistere.. O meglio, dovrei riuscire a trovare una costante positiva $c'$ tale che $|x-y| \leq c' \sqrt(|x-y|)$
Elevo al quadrato entrambi i membri, supponendo che $c'$ sia positiva .... e ottengo
$|x-y|^2 \leq c'^2 |x-y| $
$|x-y| \leq c'2$
$c'^2 >= |x-y|$
.... ma poi....
Un altro ragionamento che potrei fare è il seguente... dovrei trovare un raggio $r_2 > 0$ tale che $B_d'(x,r_2) \subseteq B_d(x,r)$...
In questo caso otterrei, se esistesse tale raggio, che la topologia indotta da d(x,y) = |x-y| è meno fine della topologia indotta da $d'(x,y) = \sqrt(|x-y|)$... Che è quello che vorrei dimostrare con l'esistenza di c'...
Ma non capisco sinceramente il modo giusto di procedere...
3) Sappiamo che $\forall x, y \in R$ si ha che $\sqrt((x-y)^2) = |x-y|$ e quindi sappiamo che $d_e(x,y) = d'(x,y)$ in termini di distanze... Da cui possiamo derivare che palle con la metrica $d'$ sono contenute nelle palle con la metrica euclidea e viceversa... quindi le topologie indotte sono equivalenti... Giusto così?
Scusami le domande che potrebbero sembrare banali (anzi sicuramente lo sono) ... ma è da un anno che non tocco libri e queste cose è la prima volta che le vedo ... :/
Grazie mille per la tua risposta
Allora provando a rifare da capo...
1) Per la disuguaglianza triangolare troverei quanto segue,
$\sqrt(|x-y|) \leq \sqrt(|x-z|) + \sqrt(|y-z|)$
da cui, elevando al quadrato otterrei
$|x-y| \leq |x-z| + |y-z| + 2 \sqrt(|x-z|) \sqrt(|y-z|)$
Dalla disuguaglianza triangolare sappiamo che $|x-y| \leq |x-z| + |y-z|$ perchè il valore assoluto è una distanza... (giusto?) si ottiene che la disuguaglianza è verificata sempre in quanto $2 \sqrt(|x-z|) \sqrt(|y-z|)$ è sempre maggiore o uguale a 0.
2) Per quanto riguarda questo secondo punto non ho ben chiaro cosa siano questi $x$ e $y$ definiti da te né il motivo per cui li hai definiti così....
Ma come scrivevo nella domanda ... Avrei trovato la costante positiva c tale che $c d'(x,y) \leq |x-y|$ e tale costante sarebbe 1 . Infatti per $c= 1 > 0$ si ha sempre $\sqrt(d(x,y)) \leq d(x,y)$ ponendo $d(x,y) = |x-y|$ ...
Per quanto riguarda la dimostrazione dell'esistenza della costante $c' >0$ non riesco a comprendere come mai non dovrebbe esistere.. O meglio, dovrei riuscire a trovare una costante positiva $c'$ tale che $|x-y| \leq c' \sqrt(|x-y|)$
Elevo al quadrato entrambi i membri, supponendo che $c'$ sia positiva .... e ottengo
$|x-y|^2 \leq c'^2 |x-y| $
$|x-y| \leq c'2$
$c'^2 >= |x-y|$
.... ma poi....
Un altro ragionamento che potrei fare è il seguente... dovrei trovare un raggio $r_2 > 0$ tale che $B_d'(x,r_2) \subseteq B_d(x,r)$...
In questo caso otterrei, se esistesse tale raggio, che la topologia indotta da d(x,y) = |x-y| è meno fine della topologia indotta da $d'(x,y) = \sqrt(|x-y|)$... Che è quello che vorrei dimostrare con l'esistenza di c'...
Ma non capisco sinceramente il modo giusto di procedere...
3) Sappiamo che $\forall x, y \in R$ si ha che $\sqrt((x-y)^2) = |x-y|$ e quindi sappiamo che $d_e(x,y) = d'(x,y)$ in termini di distanze... Da cui possiamo derivare che palle con la metrica $d'$ sono contenute nelle palle con la metrica euclidea e viceversa... quindi le topologie indotte sono equivalenti... Giusto così?
Scusami le domande che potrebbero sembrare banali (anzi sicuramente lo sono) ... ma è da un anno che non tocco libri e queste cose è la prima volta che le vedo ... :/
Grazie mille per la tua risposta
Supponi che esista una costante \( c > 0 \) tale che
\[
c\sqrt{\lvert x - y \rvert}\leqq \lvert x - y \rvert
\] per tutti gli \( x \), \( y \) reali.
Ora, prendi un \( \epsilon > 0 \), e nota che posti \( x \) e \( y \) come ti dicevo io prima si deve avere
\[
c < \epsilon\text{.}
\] Siccome \( \epsilon \) è arbitrario e quella disuguaglianza vale per tutti gli \( x \) e \( y \), arrivi ad un assurdo.
L'idea è di sfruttare il fatto che non può mai essere \( c\sqrt x\leqq x \) per nessuna costante \( c > 0 \): porre \( x = \epsilon^2/2 \) e \( y = -\epsilon^2/x \) serve per far comparire dentro \( \sqrt{\lvert x - y\rvert} \) una quantità, \(\epsilon \), arbitraria. (E poi è chiaro che non può esistere nessun numero reale \( c \) tale che \( 0 0 \)).
Quindi qualcuno dei due ha sbagliato. Dov'è l'errore? (Hint: fai il grafico di \( x \) e di \( \sqrt x \)).
Di nuovo, non esiste una costante \( C \) (la chiamo "ci grande") tale che
\[
\lvert x - y \rvert \leqq C\sqrt{\lvert x - y \rvert}
\] e il motivo è più o meno uguale (studia una cosa tipo \( x\leqq C\sqrt x \) per \( x>0 \)).
Riguardo alle palle: scrivi esplicitamente la definizione della palla di centro \( x \) e raggio \( r \) rispetto alla distanza standard e rispetto a quella nuova; noterai che...
\[
c\sqrt{\lvert x - y \rvert}\leqq \lvert x - y \rvert
\] per tutti gli \( x \), \( y \) reali.
Ora, prendi un \( \epsilon > 0 \), e nota che posti \( x \) e \( y \) come ti dicevo io prima si deve avere
\[
c < \epsilon\text{.}
\] Siccome \( \epsilon \) è arbitrario e quella disuguaglianza vale per tutti gli \( x \) e \( y \), arrivi ad un assurdo.
L'idea è di sfruttare il fatto che non può mai essere \( c\sqrt x\leqq x \) per nessuna costante \( c > 0 \): porre \( x = \epsilon^2/2 \) e \( y = -\epsilon^2/x \) serve per far comparire dentro \( \sqrt{\lvert x - y\rvert} \) una quantità, \(\epsilon \), arbitraria. (E poi è chiaro che non può esistere nessun numero reale \( c \) tale che \( 0
Quindi qualcuno dei due ha sbagliato. Dov'è l'errore? (Hint: fai il grafico di \( x \) e di \( \sqrt x \)).
Di nuovo, non esiste una costante \( C \) (la chiamo "ci grande") tale che
\[
\lvert x - y \rvert \leqq C\sqrt{\lvert x - y \rvert}
\] e il motivo è più o meno uguale (studia una cosa tipo \( x\leqq C\sqrt x \) per \( x>0 \)).
Riguardo alle palle: scrivi esplicitamente la definizione della palla di centro \( x \) e raggio \( r \) rispetto alla distanza standard e rispetto a quella nuova; noterai che...
Scusami le domande che potrebbero sembrare banali (anzi sicuramente lo sono) ... ma è da un anno che non tocco libri e queste cose è la prima volta che le vedo ... :/Non ti preoccupare; ti rispondo solo ora perché mi sono appena svegliato.
Buonasera...
Allora scrivendo le palle di centro $x$ e raggio $r$ rispetto alle due distanze ($d$ ed $e$) trovo che
$B_d(x,r) = { y \in R | \sqrt(|x-y| < r) }$ e $B_e(x,r) = { y \in R | |x-y| < r }$ ....
Per dimostrare che $d$ induce la topologia euclidea dovrei dimostrare che esiste un raggio positivo $r_2$ tale che vale $\forall x \in R$, $B_d(x, r_2) \subseteq B_e(x, r)$ con $r> 0$ e viceversa ovvero esiste un raggio $r_3 > 0$ tale che $B_e(x, r_2) \subseteq B_d(x, r)$ ....
E questi due raggi esistono...
1) $B_d(x, r_2) \subseteq B_e(x, r)$. Assunto che esista $r_2 > 0$ si ha che se $y \in B_e(x, r)$ allora $y \in B_d(x, r_2)$
quindi devono valere entrambe le condizioni (a) \sqrt(|x-y|) < r_2 e (b) |x-y| < r ... Quindi abbiamo grazie alla monotonia della funzione radice (dimmi se sbaglio) che (a) $\sqrt(|x-y|) < \sqrt(r)$
....
Da cui ottengo $B_d(x, \sqrt(r)) \subseteq B_e(x, r)$ .... Quindi se indico con $E$ la topologia euclidea otteniamo che un aperto $A \in E$ si può scrivere come unione di palle del tipo $B_e(x, r)$.
Quindi
$A = \cup_{x \in A} B_e(x, r) \supseteq \cup_{x \in A} B_d(x, \sqrt(r)) \supseteq A$
Cioè si è dimostrato che $A$ aperto di $E$ si può sempre scrivere come unione di palle della topologia $\tau$ indotta da $d$.... e quindi $E \subseteq \tau$ ovvero $E$ è meno fine di $\tau$...
Ripetendo il ragionamento in verso opposto si ottiene che anche $\tau \subseteq E$ e quindi le due topologie si equivalgono...
Quindi è vero che $d$ induce la topologia euclidea..
E' questo il modo giusto per dimostrare la cosa?
:)
( ma nell'unione di palle che ho preso per descrivere l'aperto A della topologia euclidea il raggio $r$ delle palle che ho usato nell'unione varia con $x$ o è fisso?)
Per quanto riguarda il punto $2$ da te spiegato con le $\epsilon$ adesso mi è chiaro grazie..
Allora scrivendo le palle di centro $x$ e raggio $r$ rispetto alle due distanze ($d$ ed $e$) trovo che
$B_d(x,r) = { y \in R | \sqrt(|x-y| < r) }$ e $B_e(x,r) = { y \in R | |x-y| < r }$ ....
Per dimostrare che $d$ induce la topologia euclidea dovrei dimostrare che esiste un raggio positivo $r_2$ tale che vale $\forall x \in R$, $B_d(x, r_2) \subseteq B_e(x, r)$ con $r> 0$ e viceversa ovvero esiste un raggio $r_3 > 0$ tale che $B_e(x, r_2) \subseteq B_d(x, r)$ ....
E questi due raggi esistono...
1) $B_d(x, r_2) \subseteq B_e(x, r)$. Assunto che esista $r_2 > 0$ si ha che se $y \in B_e(x, r)$ allora $y \in B_d(x, r_2)$
quindi devono valere entrambe le condizioni (a) \sqrt(|x-y|) < r_2 e (b) |x-y| < r ... Quindi abbiamo grazie alla monotonia della funzione radice (dimmi se sbaglio) che (a) $\sqrt(|x-y|) < \sqrt(r)$
....
Da cui ottengo $B_d(x, \sqrt(r)) \subseteq B_e(x, r)$ .... Quindi se indico con $E$ la topologia euclidea otteniamo che un aperto $A \in E$ si può scrivere come unione di palle del tipo $B_e(x, r)$.
Quindi
$A = \cup_{x \in A} B_e(x, r) \supseteq \cup_{x \in A} B_d(x, \sqrt(r)) \supseteq A$
Cioè si è dimostrato che $A$ aperto di $E$ si può sempre scrivere come unione di palle della topologia $\tau$ indotta da $d$.... e quindi $E \subseteq \tau$ ovvero $E$ è meno fine di $\tau$...
Ripetendo il ragionamento in verso opposto si ottiene che anche $\tau \subseteq E$ e quindi le due topologie si equivalgono...
Quindi è vero che $d$ induce la topologia euclidea..
E' questo il modo giusto per dimostrare la cosa?
:) ( ma nell'unione di palle che ho preso per descrivere l'aperto A della topologia euclidea il raggio $r$ delle palle che ho usato nell'unione varia con $x$ o è fisso?)
Per quanto riguarda il punto $2$ da te spiegato con le $\epsilon$ adesso mi è chiaro
grazie..
"Desirio":Sì è giusto, puoi fare così. Poi, quello che devi in realtà provare è che la topologia indotta dalla distanza standard coincide con la topologia indotta da \( d^\prime \); questo dopo l'hai fatto, mi pare, quindi va bene c:
Per dimostrare che $ d $ induce la topologia euclidea dovrei dimostrare che esiste un raggio positivo $ r_2 $ tale che vale $ \forall x \in R $, $ B_d(x, r_2) \subseteq B_e(x, r) $ con $ r> 0 $ e viceversa ovvero esiste un raggio $ r_3 > 0 $ tale che $ B_e(x, r_2) \subseteq B_d(x, r) $ ....
Tuttavia quello che volevo farti notare è che l'insieme delle \( d \)-palle è uguale all'insieme delle \( d^\prime \)-palle (nota infatti che la palla \( B^\prime(x,r) = \{y\in \mathbb R : \sqrt{\lvert x - y\rvert} < r\} \) (a \( x\in \mathbb R \) e \( r > 0 \) fissati) è esattamente la palla euclidea \( B(x,r^2) \), perché un \( y \) le appartiene sse \( \sqrt{\lvert x - y\rvert} < r \) sse \( \lvert x - y\rvert < r^2 \), ecc.). Va da se che una volta dimostrato questo non c'è alcun bisogno di far vedere che ogni \( d \)-palla contiene una \( d^\prime \)-palla e viceversa.
E questi due raggi esistono...Qua non ho capito che cosa hai fatto. Per provare (ad esempio) che ogni \( d \)-palla \( B(x,r) \) contiene concentricamente una qualche \( d^\prime \)-palla \( B^\prime(x,r^\prime) \), puoi semplicemente notare che, dentro \( B(x,r) \), ci sta \( B^\prime(x,\sqrt r) \) (di nuovo, perché se \( \sqrt{\lvert x - y\rvert} < \sqrt r \) per qualche \( y \), allora anche \( \lvert x - y\rvert < r \) - per la monotonia di \( x\mapsto x^2 \) sui non negativi, se proprio vuoi. Comunque mi sa che è quello che hai fatto tu, detto in modo un po' meno incasinato.
La risposta alla domanda (per come l'ho capita io) è che varia.
(ma nell'unione di palle che ho preso per descrivere l'aperto A della topologia euclidea il raggio $ r $ delle palle che ho usato nell'unione varia con $ x $ o è fisso?)
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