Esercizio matrici

[nomen1]

Dire se la seguente affermazione è vera o falsa:
"Se due matrici A, B hanno lo stesso polinomio caratteristico e A è diagonalizzabile , allora anche B è diagonalizzabile".

Come posso fare???

[pat871]

È falsa, basta un semplice controesempio...
prendiamo
$A = ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
e
$B = ((1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
Il polinomio caratteristico è lo stesso, A è diagonalizzabile, ma B non lo è.

[nomen1]

"pat87":È falsa, basta un semplice controesempio...
prendiamo
$A = ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
e
$B = ((1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
Il polinomio caratteristico è lo stesso, A è diagonalizzabile, ma B non lo è.

Grazie 1000......
mi stavo ponendo questa domanda ....forse un po' stupida.....(forse molto stupida)
se ho una matrice quadrata e trovo un solo autovalore $lambda$ posso dire subito che la matrice non è diagonalizzabile?
Perchè nell'esercizio la matrice A ha un solo autovalore $lambda=1$ però A ovviamente è diagonalizzabile.....

[pat871]

Appunto non puoi dirlo, dovresti analizzare la molteplicità geometrica di quell'autovalore, cioè la dimensione di $ker(A - \lambda I)$, e vedere se è uguale alla molteplicità algebrica (ovvero il grado di molteplicità dello zero). Se è così, allora la matrice è diagonalizzabile, e possiede perciò una base di autovettori per cui rispetto ad essa la matrice risulta diagonale. Sennò non lo è.

[nomen1]

"pat87":Appunto non puoi dirlo, dovresti analizzare la molteplicità geometrica di quell'autovalore, cioè la dimensione di $ker(A - \lambda I)$, e vedere se è uguale alla molteplicità algebrica (ovvero il grado di molteplicità dello zero). Se è così, allora la matrice è diagonalizzabile, e possiede perciò una base di autovettori per cui rispetto ad essa la matrice risulta diagonale. Sennò non lo è.

scusa.....ma cosa si intende per molteplicità?

[pat871]

La molteplicità algebrica di un autovalore $\lambda$ è quante volte l'autovalore si annulla nel suo polinomio caratteristico. Ovvero è il numero $k$ per cui se $P_A(t)$ è il polinomio caratteristico di $A$, si ha che:
$P_A(t) = (t - \lambda)^{k} * (t - \lambda_{1})^{k_{1}}* ...$
La molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$ è la dimensione del sottospazio $ker(A-\lambda I)$, ovvero $m_{\lambda} := dim(ker(A-\lambda I))$

[nomen1]

"pat87":La molteplicità algebrica di un autovalore $\lambda$ è quante volte l'autovalore si annulla nel suo polinomio caratteristico. Ovvero è il numero $k$ per cui se $P_A(t)$ è il polinomio caratteristico di $A$, si ha che:
$P_A(t) = (t - \lambda)^{k} * (t - \lambda_{1})^{k_{1}}* ...$
La molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$ è la dimensione del sottospazio $ker(A-\lambda I)$, ovvero $m_{\lambda} := dim(ker(A-\lambda I))$

Chiarissimo...grazie!

[franced]

Scusate ma l'esempio più semplice è il seguente:

$A=((0,1),(0,0))$

$B=((0,0),(0,0))$