Esercizio matrici

[Magma1]

Buonasera,

Si consideri la matrice $a:=((1, 1) ,(1, 1))$ e sia $f:M_2(mathbb (R)) rArr M_2(mathbb (R))$ la funzione deifnita ponendo $f(X):=AX$, per ogni $X in M_2(mathbb (R))$

(1) Si calcoli $f(((a, b), (c, d)))$

Io l'ho risolto in questo modo:

$f(((a, b), (c, d)))=((1, 1) ,(1, 1))((a, b), (c, d))=((a+c, b+d),(a+c, b+d))$

giusto? Mi sembra troppo facile...

(2) Si dica se f è iniettiva

f non è initettiva perché:

$f((0,0),(0,0))=((1, 1) ,(1, 1))((0,0),(0,0))=((0,0),(0,0))$

$f((1,1),(-1,-1))=((1,1),(-1,-1))((0,0),(0,0))=((0,0),(0,0))$

(3) Si dica se esiste una mtrice $B in M_2(mathbb (R))$ tale che $f(B) in GL_2(mathbb (R))$
(4) Si dica se f è surgettiva

Questi due esercizi non so come impostarli...

[donald_zeka]

$f$ va dalle matrici reali $2 xx 2$ alle matrici reali $2 xx 2$, quindi è surgettiva se e solo se ogni matrice $2 xx 2$ si può ottenere come prodotto $AX$, ma come hai notato nel punto $(1)$, l'immagine di $f$ è una matrice del tipo $( (x,y),(x,y) )$ che non corrisponde allo spazio delle matrici $2 xx 2$, pertanto $f$ non è surgettiva.

Non capisco cosa intenda il punto $(3)$

[Magma1]

"Vulplasir":Non capisco cosa intenda il punto $(3)$

Io l'avevo interpreta così (ma non so se sia giusto): 'si dica se esista una matrice $B$ la cui immagine $f(B)$ sia una matrice invertibile", però non saprei come trovarla, se esiste, o confutare, se non esiste.

"Vulplasir":$f$ va dalle matrici reali $2 xx 2$ alle matrici reali $2 xx 2$, quindi è surgettiva se e solo se ogni matrice $2 xx 2$ si può ottenere come prodotto $AX$, ma come hai notato nel punto $(1)$, l'immagine di $f$ è una matrice del tipo $( (x,y),(x,y) )$ che non corrisponde allo spazio delle matrici $2 xx 2$, pertanto $f$ non è surgettiva.

Aspetta... non ti seguo. $( (x,y),(x,y) )$ non è una matrice $2 xx 2$, perché non corrisponde allo spazio delle matrici $2 xx 2$??

EDIT: ah.. forse perché sarebbe $ (x,y)$ cioè matrice riga $1xx2$???

[donald_zeka]

Allora, per prima cosa,una funzione è surgettiva quando la sua immagine coincide con il suo codominio. Il codiminio di $f$ da definizione è lo spazio delle matrici quadrate $2 xx 2$, l'immagine di $f$ è quella che hai calcolato nel primo punto dell'esercizio, ossia hai preso una generica matrice $X=((a, b),(c, d))$ e hai calcolato $f(X)=AX$ e come risultato hai trovato la matrice generica $((a+c,b+d),(a+c,b+d))$, che pertanto corrisponde all'immagine di $f$, se poni $a+c=x$ e $b+d=y$ la matrice diventa $((x,y),(x,y))$ ossia $((x,y),(x,y))=x((1,0),(1,0))+y((0,1),(0,1))$, $[((1,0),(1,0));((0,1),(0,1))] $ formano quindi una base dell'immagine di $f$, che pertanto ha dimensione $2$, ma lo spazio delle matrici quadrate $2 xx 2$ ha dimensione $4$, l'immagine di $f$ quindi non coincide con il codominio e la funzione non è surgettiva.

Riguardo al punto tre, se è come dici tu, allora basta considerare l'immagine di una generica matrice $X$ che hai trovato nel primo punto e applicare alla sua immagine la condizione necessaria e sufficiente all'invertibilità, ossia il suo determinante deve essere diverso da zero, detto questo si capisce subito che una tale matrice non esiste.

[Magma1]

"Vulplasir":Allora, per prima cosa,una funzione è surgettiva quando la sua immagine coincide con il suo codominio. Il codiminio di $f$ da definizione è lo spazio delle matrici quadrate $2 xx 2$, l'immagine di $f$ è quella che hai calcolato nel primo punto dell'esercizio, ossia hai preso una generica matrice $X=((a, b),(c, d))$ e hai calcolato $f(X)=AX$ e come risultato hai trovato la matrice generica $((a+c,b+d),(a+c,b+d))$, che pertanto corrisponde all'immagine di $f$, se poni $a+c=x$ e $b+d=y$ la matrice diventa $((x,y),(x,y))$ ossia $((x,y),(x,y))=x((1,0),(1,0))+y((0,1),(0,1))$, $[((1,0),(1,0));((0,1),(0,1))] $ formano quindi una base dell'immagine di $f$, che pertanto ha dimensione $2$, ma lo spazio delle matrici quadrate $2 xx 2$ ha dimensione $4$, l'immagine di $f$ quindi non coincide con il codominio e la funzione non è surgettiva.

Perfetto!

"Vulplasir": Riguardo al punto tre, se è come dici tu, allora basta considerare l'immagine di una generica matrice $X$ che hai trovato nel primo punto e applicare alla sua immagine la condizione necessaria e sufficiente all'invertibilità, ossia il suo determinante deve essere diverso da zero, detto questo si capisce subito che una tale matrice non esiste.

Ieri sera ci stavo riflettendo e sono arrivato a questa conclusione:


Se $A,B in GL_n(mathbbR)$[nota]Con $GL_n(mathbbR)$ indico l'insieme delle matrici invertibili[/nota] $rArr (AB)in GL_n(mathbbR)$.
Ma se [nota]Scusate ma non ho trovato la negazione di $in$ [/nota] $A ne GL_n(mathbbR), B in GL_n(mathbbR) rArr (AB) in GL_n(mathbbR)$??

Dopo un po' mi sono ricordato il Teorema di Binet: $det(AB)=det(A)*det(B)$, e quindi visto che A non è invertibile allora avrà determinante uguale a 0, pertanto $det(AB)=0$; quindi $AB$ non è invertibile.
Dopo tutto questo posso affermare la matrice richiesta dall'esercizio non esiste, giusto?

[donald_zeka]

Giusto