Esercizio matrice trasposizione in forma di Jordan
Salve a tutti, sto cercando invano da diversi giorni di comprendere la teoria riguardo la formazione dellla matrice di trasposizione per portare una matrice non diagonalizzabile in forma di Jordan.
Ho cercato di comprendere le catene di Jordan e la loro costruzione, ma non riesco ad applicare la teoria al caso.
Diciamo che sino l'ordine 3x3 risulta tutto abbastanza semplice e regolare, mentre per quanto riguarda il caso 4x4 si possono suddividere vari casi: quello incriminato è quando trovo un unico autovalore di molteplicità 4.
Vi posto l'esempio che mi turba.
$\A =$ $((1,1,0,1),(0,2,0,0),(-1,1,2,1),(-1,1,0,3))$
Risolvendo il problema degli autovalori con il polinomio associato alla matrice
$\(sI-A) =$ $((s-1,-1,0,-1),(0,s-2,0,0),(1,-1,s-2,-1),(1,-1,0,s-3))$
trovo che $\s_1 = 2,$ con molteplicità algebrica $m.a. = 4$.
In principio posso già calcolarmi la forma di Jordan in questo modo:
1) Trovo la $dim(ker(s_1I-A))$, con $(s_1I-A)$ = $((1,-1,0,-1),(0,0,0,0),(1,-1,0,-1),(1,-1,0,-1))$ e trovo che la il rango $\rho_1$ della matrice è $\1$.
Quindi la molteplicità algebrica $\m.g.$ sarà uguale a $\n - rho_1 = 4-1 = 3$.
Questo risultato mi avverte immediatamente che la matrice in oggetto non è diagonalizzabile essendo $\m.a.!=m.g.$
Il numero di miniblocchi di $\dim>=1$ di Jordan associati all'autovalore di $\s_1$ è $\mu_1 = 3$
Posso inizializzare il valore di $\nu_1 = mu_1 =3$
2) Continuo ricercando i parametri appena calcolati, ma elevando la matrice alla seconda, alla terza,..etc, cercando l'esponente tale che $rank(s_1I-A)^k = rank(s_1I-A)^(k+1) $: questo sarà il grado dell'autovalore.
Si trova immediatamente che $(s_1I-A)^2$ = matrice nulla e quindi il grado dell autovalore $\g$ sarà uguale a $\2$.
Si ricavano i parametri della matrice elevata al grado 2. Si ha $\rho_2 = 0$, $\mu_2 = 4$ e $\nu_2= mu_2-mu_1=1$.
Per quanto riguarda l'elevazione al grado 3 ha $\rho_3 = 0$, $\mu_3 = 4$ e $\nu_3= mu_3-mu_2=0$.
Grazie a questi dati posso definire $\Pi_k$ definitivo come $\nu_k - nu_(k+1)$ che mi dice il numero di miniblocchi di ordine $\k$. Quindi ho
$\Pi_1 = nu_1 - nu_2 = 3-1 = 2$ quindi avrò due miniblocchi di Jordan di ordine 1 associati all'autovalore $\s_1$
$\Pi_2 = nu_2 - nu_3 = 1-0 = 1$ quindi avrò 1 miniblocco di Jordan di ordine 2 associato all'autovalore $\s_1$
Per prova calcolo $\Pi_3 = nu_3 - nu_4$ che ovviamente mi dà risultato $\0$
Immediatamente capisco che la matrice di Jordan associata alla matrice $\A$ potrà assumere una di queste forme:
$((2,1,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,2))$ oppure $((2,0,0,0),(0,2,1,0),(0,0,2,0),(0,0,0,2))$ oppure $((2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,1),(0,0,0,2))$
Successivamente mi trovo nella necessità di calcolare la matrice $\T$ di trasferimento che mi porta la matrice $\A$ in una delle tre forme sopra indicate.
Io ho provato a seguire la teoria propostami dal mio docente, la quale mi dice:
1) associata al valore di $\k$ il valore del grado dell'autovalore trovato, quindi di $\g=2$,
assegna a $\nu_(g+1)$ il valore $\0$
prendi un insieme $\B$ e assegnagli gli elementi dell'insieme vuoto $\phi$
2) prendere $\Pi_k$ (quindi $\Pi_2 = 1$) autovettori generalizzati d'ordine $\k$ linearmente indipendenti fra loro e rispetto ai vettori di $\B$. Per ciascuno di essi costruire una catena di Jordan $(A-sI)^(k-1)*v_k$ sino a $\v_k$ autovettore generalizzato. Quindi costruisco a ritroso le catene. Quando $nu_k - nu_(k+1) =0$ vai oltre.
3) tutti i vettori di tutte le catene del passo 2 diventano elementi dell'insieme $\B$
4) se $\k = 1$ allora procedi al passo 6, altrimenti assegna a $\k$ il valore $\k-1$
5) torna al passo 2
6) Le colonne della matrice di trasformazione $\T$ relative ad $\s$ sono gli elementi di $\B$ in ordine inverso rispetto all'ordine di calcolo (ordine di catena)
le mie domande sono due:
A) come faccio a trovare la matrice $\T$ di trasformazione tale che $\ J = T^(-1)*A*T$ ?
B) come faccio a determinare la matrice di trasformazione corretta rispetto a uno delle tre possibili rappresentazioni di Jordan? Ovvero: operativamente, durante la costruzione, come posso comprendere/assegnare il miniblocco di ordine due in mezzo o rispettavamente in alto o in basso?
Grazie a tutti per la disponibilità
Ho cercato di comprendere le catene di Jordan e la loro costruzione, ma non riesco ad applicare la teoria al caso.
Diciamo che sino l'ordine 3x3 risulta tutto abbastanza semplice e regolare, mentre per quanto riguarda il caso 4x4 si possono suddividere vari casi: quello incriminato è quando trovo un unico autovalore di molteplicità 4.
Vi posto l'esempio che mi turba.
$\A =$ $((1,1,0,1),(0,2,0,0),(-1,1,2,1),(-1,1,0,3))$
Risolvendo il problema degli autovalori con il polinomio associato alla matrice
$\(sI-A) =$ $((s-1,-1,0,-1),(0,s-2,0,0),(1,-1,s-2,-1),(1,-1,0,s-3))$
trovo che $\s_1 = 2,$ con molteplicità algebrica $m.a. = 4$.
In principio posso già calcolarmi la forma di Jordan in questo modo:
1) Trovo la $dim(ker(s_1I-A))$, con $(s_1I-A)$ = $((1,-1,0,-1),(0,0,0,0),(1,-1,0,-1),(1,-1,0,-1))$ e trovo che la il rango $\rho_1$ della matrice è $\1$.
Quindi la molteplicità algebrica $\m.g.$ sarà uguale a $\n - rho_1 = 4-1 = 3$.
Questo risultato mi avverte immediatamente che la matrice in oggetto non è diagonalizzabile essendo $\m.a.!=m.g.$
Il numero di miniblocchi di $\dim>=1$ di Jordan associati all'autovalore di $\s_1$ è $\mu_1 = 3$
Posso inizializzare il valore di $\nu_1 = mu_1 =3$
2) Continuo ricercando i parametri appena calcolati, ma elevando la matrice alla seconda, alla terza,..etc, cercando l'esponente tale che $rank(s_1I-A)^k = rank(s_1I-A)^(k+1) $: questo sarà il grado dell'autovalore.
Si trova immediatamente che $(s_1I-A)^2$ = matrice nulla e quindi il grado dell autovalore $\g$ sarà uguale a $\2$.
Si ricavano i parametri della matrice elevata al grado 2. Si ha $\rho_2 = 0$, $\mu_2 = 4$ e $\nu_2= mu_2-mu_1=1$.
Per quanto riguarda l'elevazione al grado 3 ha $\rho_3 = 0$, $\mu_3 = 4$ e $\nu_3= mu_3-mu_2=0$.
Grazie a questi dati posso definire $\Pi_k$ definitivo come $\nu_k - nu_(k+1)$ che mi dice il numero di miniblocchi di ordine $\k$. Quindi ho
$\Pi_1 = nu_1 - nu_2 = 3-1 = 2$ quindi avrò due miniblocchi di Jordan di ordine 1 associati all'autovalore $\s_1$
$\Pi_2 = nu_2 - nu_3 = 1-0 = 1$ quindi avrò 1 miniblocco di Jordan di ordine 2 associato all'autovalore $\s_1$
Per prova calcolo $\Pi_3 = nu_3 - nu_4$ che ovviamente mi dà risultato $\0$
Immediatamente capisco che la matrice di Jordan associata alla matrice $\A$ potrà assumere una di queste forme:
$((2,1,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,2))$ oppure $((2,0,0,0),(0,2,1,0),(0,0,2,0),(0,0,0,2))$ oppure $((2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,1),(0,0,0,2))$
Successivamente mi trovo nella necessità di calcolare la matrice $\T$ di trasferimento che mi porta la matrice $\A$ in una delle tre forme sopra indicate.
Io ho provato a seguire la teoria propostami dal mio docente, la quale mi dice:
1) associata al valore di $\k$ il valore del grado dell'autovalore trovato, quindi di $\g=2$,
assegna a $\nu_(g+1)$ il valore $\0$
prendi un insieme $\B$ e assegnagli gli elementi dell'insieme vuoto $\phi$
2) prendere $\Pi_k$ (quindi $\Pi_2 = 1$) autovettori generalizzati d'ordine $\k$ linearmente indipendenti fra loro e rispetto ai vettori di $\B$. Per ciascuno di essi costruire una catena di Jordan $(A-sI)^(k-1)*v_k$ sino a $\v_k$ autovettore generalizzato. Quindi costruisco a ritroso le catene. Quando $nu_k - nu_(k+1) =0$ vai oltre.
3) tutti i vettori di tutte le catene del passo 2 diventano elementi dell'insieme $\B$
4) se $\k = 1$ allora procedi al passo 6, altrimenti assegna a $\k$ il valore $\k-1$
5) torna al passo 2
6) Le colonne della matrice di trasformazione $\T$ relative ad $\s$ sono gli elementi di $\B$ in ordine inverso rispetto all'ordine di calcolo (ordine di catena)
le mie domande sono due:
A) come faccio a trovare la matrice $\T$ di trasformazione tale che $\ J = T^(-1)*A*T$ ?
B) come faccio a determinare la matrice di trasformazione corretta rispetto a uno delle tre possibili rappresentazioni di Jordan? Ovvero: operativamente, durante la costruzione, come posso comprendere/assegnare il miniblocco di ordine due in mezzo o rispettavamente in alto o in basso?
Grazie a tutti per la disponibilità
Risposte
Nessuno è in grado di darmi una dritta? 
ho risolto, elimino il post?
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