Esercizio matrice rappresentativa
Si consideri la base $B={3+t,2+t}$ per $RR[t]_{<1}$
Sia $f: p(t)inRR[t]_{<1}->RR[t]_{<1}$ a cui appartiene $p^I(t)$
Calcolare:
$M^B_B (f)$
Svolgimento:
$M^B_B(f)=[[D(3+t)]_B[D(2+t)]_B]$ $=[[1]_B[1]_B]$ $=[[1,1],[-1,-1]]$
1=x(3+y)+y(2+t)=(3x+2y)+(x+y)t
${(3x+2y=1),(x+y=0):}$ $=>$ ${(x+y=0),(3x+2y=1):}$ $=>$ ${(x+y=0),(-y=1):}$ $=>$ ${(x=1),(y=-1):}$
Quindi
$M^B_B(f)=[[1,1],[-1,-1]]$
Non ci sto capendo nulla, c'è qualche anima gentile che mi spiega ogni minimo passaggio?
L'esercizio non doveva dire almeno a che cosa è uguale $p^I(t)$??
Sia $f: p(t)inRR[t]_{<1}->RR[t]_{<1}$ a cui appartiene $p^I(t)$
Calcolare:
$M^B_B (f)$
Svolgimento:
$M^B_B(f)=[[D(3+t)]_B[D(2+t)]_B]$ $=[[1]_B[1]_B]$ $=[[1,1],[-1,-1]]$
1=x(3+y)+y(2+t)=(3x+2y)+(x+y)t
${(3x+2y=1),(x+y=0):}$ $=>$ ${(x+y=0),(3x+2y=1):}$ $=>$ ${(x+y=0),(-y=1):}$ $=>$ ${(x=1),(y=-1):}$
Quindi
$M^B_B(f)=[[1,1],[-1,-1]]$
Non ci sto capendo nulla, c'è qualche anima gentile che mi spiega ogni minimo passaggio?
L'esercizio non doveva dire almeno a che cosa è uguale $p^I(t)$??
Risposte
Secondo me, si tratta di $p'(t)$, cioè la derivata di $p(t)$.
Si, D sta per derivata.
E allora come si trova?
E allora come si trova?
Suppongo che [tex]\mathbb{R}[t]_{<1}[/tex] sia l'insieme dei polinomi di grado al più [tex]1[/tex].
L'esercizio si risolve come al solito.
Denotando con [tex]p_1(t)=3+t[/tex] e [tex]p_2(t)=2+t[/tex], si calcola [tex]f\left(p_1(t)\right)[/tex] e [tex]f\left(p_1(t)\right)[/tex], si scrivono questi due polinomi come combinazione lineare di [tex]p_1(t)=3+t[/tex] e [tex]p_2(t)=2+t[/tex] e si mettono in colonna i coefficienti...
Praticamente quello che hai scritto tu.
L'esercizio si risolve come al solito.
Denotando con [tex]p_1(t)=3+t[/tex] e [tex]p_2(t)=2+t[/tex], si calcola [tex]f\left(p_1(t)\right)[/tex] e [tex]f\left(p_1(t)\right)[/tex], si scrivono questi due polinomi come combinazione lineare di [tex]p_1(t)=3+t[/tex] e [tex]p_2(t)=2+t[/tex] e si mettono in colonna i coefficienti...
Praticamente quello che hai scritto tu.
Però perchè
D(3+t)=1
e
D(2+t)=1 ??
D(3+t)=1
e
D(2+t)=1 ??
$D(3+t)$ è la derivata di $3+t$ rispetto alla variabile $t$, cioè $1$.
Che sarebbe il coefficiente di t?
Cioè se dovevo fare la derivata di 3+2t era 2?
Cioè se dovevo fare la derivata di 3+2t era 2?
Sì, certo.
Nota che la derivata di un polinomio è ancora un polinomio, cioè se [tex]\displaystyle p(t)=\sum_{k=0}^Na_kx^k[/tex] allora [tex]\displaystyle p'(t)=\sum_{k=1}^Nka_kx^{k-1}[/tex]
Nota che la derivata di un polinomio è ancora un polinomio, cioè se [tex]\displaystyle p(t)=\sum_{k=0}^Na_kx^k[/tex] allora [tex]\displaystyle p'(t)=\sum_{k=1}^Nka_kx^{k-1}[/tex]
Ok. Però poi c'è scritto:
1=x(3+y)+y(2+t)=(3x+2y)+(x+y)t
e facendo il sistema è stato messo 3x+2y=1 ma x+y=0
Non dovrebbe essere anche x+y=1 ?
1=x(3+y)+y(2+t)=(3x+2y)+(x+y)t
e facendo il sistema è stato messo 3x+2y=1 ma x+y=0
Non dovrebbe essere anche x+y=1 ?
Avrai sbagliato a trascrivere. Dovrebbe essere
$1=x(3+t)+y(2+t)=(3x+2y)+(x+y)t$
Significa che sto scrivendo il polinomio $1$ come combinazione lineare dei vettori della base $p_1(t)$ e $p_2(t)$.
E naturalmente sta uguagliando i coefficienti di ogni grado (rispetto alla variabile $t$) di ambo i membri.
$1=x(3+t)+y(2+t)=(3x+2y)+(x+y)t$
Significa che sto scrivendo il polinomio $1$ come combinazione lineare dei vettori della base $p_1(t)$ e $p_2(t)$.
E naturalmente sta uguagliando i coefficienti di ogni grado (rispetto alla variabile $t$) di ambo i membri.
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