Esercizio: matrice diagonalizzabile e diagonalizzante.
Stabilire se la seguente matrice `e diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice P
diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale D alla quale la matrice in questione risulta essere
simile:
\(\displaystyle {S}={\left(\matrix{{3}&{0}&{0}\\-{3}&{2}&{2}\\{3}&{1}&{1}}\right)} \)
esibire un vettore non nullo che non sia autovettore della matrice data!
il mio procedimento si arresta alla ricerca degli autovalori!e cioè t= 3 con m.a =2, t= 2 e t=1...
diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale D alla quale la matrice in questione risulta essere
simile:
\(\displaystyle {S}={\left(\matrix{{3}&{0}&{0}\\-{3}&{2}&{2}\\{3}&{1}&{1}}\right)} \)
esibire un vettore non nullo che non sia autovettore della matrice data!
il mio procedimento si arresta alla ricerca degli autovalori!e cioè t= 3 con m.a =2, t= 2 e t=1...
Risposte
Li hai trovati gli autovalori o no che non ho capito? Che molteplicità algebrica hanno?
Paola
Paola
Paola, qui c'è un mio dubbio io mi trovo 3 autovalori:
t= 3 con m.a. =2
t= 2 con ma =1
t =1 con ma=1..ma nn so se sn corretti!!
t= 3 con m.a. =2
t= 2 con ma =1
t =1 con ma=1..ma nn so se sn corretti!!
Com'è possibile che $3$ abbia molteplicità $2$? Il polinomio dovrebbe essere di 3° grado, quindi con al massimo 3 soluzioni reali. E' meglio se posti i calcoli completi.
Paola
Paola
allora dalla matrice data ottengo:
\(\displaystyle {S}={\left(\matrix{{3-t}&{0}&{0}\\-{3}&{2-t}&{2}\\{3}&{1}&{1-t}}\right)} \)
calcolando il determinante ottengo:
$ [(3-t)(2-t)(1-t)] - [2 (3-t)] = 0 $
risolvendo i calcoli mi trovo così: $ (t^3 - 6t^2 +9t)= 0 $
mettendo in evidenza viene :
$ t = 0 $ con m.a.= 1
$ t = 3 $ con m.a. = 1...spero ke qsta volta siano fatti bene.
\(\displaystyle {S}={\left(\matrix{{3-t}&{0}&{0}\\-{3}&{2-t}&{2}\\{3}&{1}&{1-t}}\right)} \)
calcolando il determinante ottengo:
$ [(3-t)(2-t)(1-t)] - [2 (3-t)] = 0 $
risolvendo i calcoli mi trovo così: $ (t^3 - 6t^2 +9t)= 0 $
mettendo in evidenza viene :
$ t = 0 $ con m.a.= 1
$ t = 3 $ con m.a. = 1...spero ke qsta volta siano fatti bene.
Prima di tutto nota che puoi raccogliere $3-t$ quindi diventa
$(3-t)((2-t)(1-t)-2)=(3-t)(t^2-3t)=-t(3-t)^2$
dunque le radici sono $0,3$.
Quando un autovalore ha molteplicità algebrica 1, come $0$ in questo caso, la sua molteplicità geometrica è in automatico 1 (si può dimostrare). Dunque manca solo da verificare che la molteplicità geometrica di $3$ sia 2 come la sua corrispondente algebrica. Per fare questo devi verificare che $dim(ker(S-3I))=2$.
Paola
$(3-t)((2-t)(1-t)-2)=(3-t)(t^2-3t)=-t(3-t)^2$
dunque le radici sono $0,3$.
Quando un autovalore ha molteplicità algebrica 1, come $0$ in questo caso, la sua molteplicità geometrica è in automatico 1 (si può dimostrare). Dunque manca solo da verificare che la molteplicità geometrica di $3$ sia 2 come la sua corrispondente algebrica. Per fare questo devi verificare che $dim(ker(S-3I))=2$.
Paola
ok è diagonalizzbile, ma adesso non so vermanete come proseguire!!
nessuno sa spiegarmi come proseguire? uff 
"gilmour88":
ok è diagonalizzbile, ma adesso non so vermanete come proseguire!!
Veramente Paola non ti ha detto che è diagonalizzabile, ha detto che bisogna verificare se $dim(Ker f)=2$.
Allora si ricava il nullspace di $\bb S - \lambda \bbI$, con $\lambda =3$
$\bb S - \lambda \bbI = ((0,0,0),(-3,-1,2),(3,1,-2))$
Riducendo il tutto
$((0,0,0),(-3,-1,2),(0,0,0))$
da cui il nullspace è $\mathcal{L} ("(-1,3,0) , (0,2,1)") $
grazie quinzio, ma avevo risolto trovando ke è diagonalizzabile, ma l'esercizio mi kiede di trovare la matrice diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale D alla quale la matrice in questione risulta essere simile, inoltre di esibire un vettore non nullo che non sia autovettore della matrice data!
La matrice diagonale è quella con gli autovalori sulla diagonale, quella diagonalizzante ha li autovettori sulle colonne.
L'ultima richiesta è davvero banale, se è copiata bene.
L'ultima richiesta è davvero banale, se è copiata bene.
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