Esercizio matrice associata

[blaster_nothere]

Dati i vettori v1=(2,-3,1,0) e v2=(0,-1,1,-1),

sia f:R4 -->R4 una funzione

lineare tale che Ker(f) = Im(f) = .

Si scriva la matrice di una tale f rispetto alla base canonica di R4.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

v1 e v2 sono base di Im(f) e di Ker(f)

inoltre: dim(Imf)=dim(Kerf)=2 (infatti dimKer+dimIm=4)

quindi la matrice associata deve avere rango=2

ossia 2 righe(colonne) linearmente indipendenti

quindi A è

$|(2,0,4,0),(-3,-1,-6,-2),(1,1,2,2),(0,-1,0,-2)|$


è giusto???

[piero_1]

"blaster_nothere":... (scusate la scrittura)

Sii comprensivo e metti un titolo al topic che ci faccia capire di che si tratta.

[blaster_nothere]

meglio? =))

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Questo esercizio non mi è nuovo...

"blaster_nothere":quindi A è

$|(2,0,4,0),(-3,-1,-6,-2),(1,1,2,2),(0,-1,0,-2)|$

è giusto???

Certo che no.
In base a cosa scegli due multipli a caso e li metti come terza e quarta colonna?

L'ipotesi dice che $f(v_1)=f(2,-3,1,0)=(0,0,0,0)$ e $f(v_2)=f(0,-1,1,-1)=(0,0,0,0)$.

Prima di tutto completa ${v_1,v_2}$ a una base. Per esempio puoi scegliere $v_3=(0,0,1,0)$ e $v_4=(0,0,0,1)$.

Osserva che $Im(f) = = <0,0,f(v_3),f(v_4)> = $. La richiesta è $Im(f) = ker(f)$.
Ora scegli $f(v_3)$ e $f(v_4)$ in modo che $ = $. La cosa più semplice è porre $f(v_3)=v_1$ e $f(v_4)=v_2$.
Nota bene: in questo modo hai scelto una possibile $f$, ma le $f$ che soddisfano le richieste sono infinite (potevi scegliere come $f(v_3)$, $f(v_4)$ una qualsiasi base di $$).

Ora esprimi i vettori della base canonica usando $v_1,v_2,v_3,v_4$. Ottieni

$e_1 = (1,0,0,0) = 1/2 v_1-3/2 v_2+v_3-3/2 v_4$
$e_2 = (0,1,0,0) = -v_2+v_3-v_4$
$e_3 = (0,0,1,0) = v_3$
$e_4 = (0,0,0,1) = v_4$

Calcola ora $f(e_1)$, $f(e_2)$, $f(e_3)$ e $f(e_4)$ usando le informazioni finora ottenute.

$f(e_1) = f(1/2 v_1-3/2 v_2+v_3-3/2 v_4) = 1/2 f(v_1)-3/2 f(v_2)+f(v_3)-3/2 f(v_4) = f(v_3)-3/2 f(v_4) = v_1-3/2 v_2 = (2,-3/2,-1/2,3/2)$
$f(e_2) = f(-v_2+v_3-v_4) = -f(v_2)+f(v_3)-f(v_4) = v_1-v_2 = (2,-2,0,1)$.
$f(e_3) = f(v_3) = v_1 = (2,-3,1,0)$
$f(e_4) = f(v_4) = v_2 = (0,-1,1,-1)$

La matrice quindi è (mettendo i vettori per colonna):

$((2,2,2,0),(-3/2,-2,-3,-1),(-1/2,0,1,1),(3/2,1,0,-1))$

[blaster_nothere]

"Martino":

Ora esprimi i vettori della base canonica usando $v_1,v_2,v_3,v_4$. Ottieni

$e_1 = (1,0,0,0) = 1/2 v_1-3/2 v_2+v_3-3/2 v_4$
$e_2 = (0,1,0,0) = -v_2+v_3-v_4$
$e_3 = (0,0,1,0) = v_3$
$e_4 = (0,0,0,1) = v_4$

qui hai sbagliato te o ho capito male io???dovrebbe esser...

$e_1 = (1,0,0,0) = 2 v_1- 3 v_2+ v_3 $
$e_2 = (0,1,0,0) = -v_2+v_3-v_4 $
$e_3 = (0,0,1,0) = v_3 $
$e_4 = (0,0,0,1) = v_4 $

quindi

$f(e_1)=v_1$
$f(e_2)=v_1-v_2$
$f(e_3)=v_1$
$f(e_4)=v_2$



$|(2,2,2,0),(-3,-2,-3,-1),(1,0,1,1),(0,1,0,-1)|$


????

cmq grazie mille della spiegazione sei stato molto gentile

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Non so, a me risulta giusto come ho scritto io.

Comunque mi scuso pubblicamente per aver scritto tutti i passaggi (non è nello spirito del forum), è stato un caso eccezionale e c'è un motivo.

[blaster_nothere]

questo non capisco da dove vien fuori

"Martino":
$e_1 = (1,0,0,0) = 1/2 v_1-3/2 v_2+v_3-3/2 v_4$

"Martino":
$e_2 = (0,1,0,0) = -v_2+v_3-v_4$
$e_3 = (0,0,1,0) = v_3$
$e_4 = (0,0,0,1) = v_4$

questo invece è chiaro

comunque penso sia giusto in tutti i due i modi visto ke la seconda parte dell'es chiedeva di dimostrare che l'autovalore della matrice era 0 di molteplicità 4

[blaster_nothere]

ho capito ora..hai fatto giustissimo grazie!