Esercizio lunghezza arco di curva
L'esercizio è questo:
Sia \(S\) la catenoide (parametrizzazione: \(\varphi:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{3}, \varphi(u,v)=(a\cosh(v)\cos(u),a\cosh(v)\sin(u),av)\)). Fissato \(r \in \mathbb{R}\) sia \(\sigma: \mathbb{R} \to S\) la curva contenuta nella catenoide definita da \(\sigma(t)=(\varphi(t,rt)\). Calcola la lunghezza di \(\sigma\) tra \(t=0\) e \(t=t_0\) utilizzando la prima forma fondamentale di \(S\).
Soluzione:
Abbiamo che \(\sigma(t)=\varphi(t,rt)=(a\cosh(rt)\cos(t),a\cosh(rt)\sin(t),art)\). Calcolo i coefficienti metrici della prima forma fondamentale:
\(E=\varphi_t=a^2\cosh^{2}(rt)\)
\(F=\varphi_{t rt}=-a^{2}\sinh(rt)\cosh(rt)\sin(t)\cos(t)+a^{2}\sinh(rt)\cosh(rt)\sin(t)\cos(t)=0\)
\(G=\varphi_{rt}=a^{2}\sinh^{2}(rt)\cos^{2}(t)+a^{2}\sinh^{2}(rt)\sin^{2}(t)+a^{2}=a^{2}\sinh^{2}(rt)+a^{2}=a^{2}(\cosh^{2}(rt)11)+a^{2}=\)
\(a^{2}\cosh^{2}(rt)\)
La lunghezza richiesta è data da: \[\int_{0}^{t_0}\left(\sqrt{E\left(\frac{\partial t}{\partial t}\right)^{2}+F\left(\frac{\partial t}{\partial t}\frac{\partial rt}{\partial t}\right)^{2}+G\left(\frac{\partial rt}{\partial t}\right)^{2}}\right)dt=\int_{0}^{t_0}\sqrt{a^{2}\cosh^{2}(rt)+a^{2}r^{2}\cosh^{2}(rt)}dt\]
\[=a\sqrt{1+r^{2}}\int_{0}^{t_0}\cosh(rt)dt=\frac{a\sqrt{1+r^{2}}\sinh(rt_0)}{r}\]
E' giusto?
P.S. qualcuno sa perché il segno di integrale e quello di radice vengono così piccoli?
Sia \(S\) la catenoide (parametrizzazione: \(\varphi:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{3}, \varphi(u,v)=(a\cosh(v)\cos(u),a\cosh(v)\sin(u),av)\)). Fissato \(r \in \mathbb{R}\) sia \(\sigma: \mathbb{R} \to S\) la curva contenuta nella catenoide definita da \(\sigma(t)=(\varphi(t,rt)\). Calcola la lunghezza di \(\sigma\) tra \(t=0\) e \(t=t_0\) utilizzando la prima forma fondamentale di \(S\).
Soluzione:
Abbiamo che \(\sigma(t)=\varphi(t,rt)=(a\cosh(rt)\cos(t),a\cosh(rt)\sin(t),art)\). Calcolo i coefficienti metrici della prima forma fondamentale:
\(E=\varphi_t=a^2\cosh^{2}(rt)\)
\(F=\varphi_{t rt}=-a^{2}\sinh(rt)\cosh(rt)\sin(t)\cos(t)+a^{2}\sinh(rt)\cosh(rt)\sin(t)\cos(t)=0\)
\(G=\varphi_{rt}=a^{2}\sinh^{2}(rt)\cos^{2}(t)+a^{2}\sinh^{2}(rt)\sin^{2}(t)+a^{2}=a^{2}\sinh^{2}(rt)+a^{2}=a^{2}(\cosh^{2}(rt)11)+a^{2}=\)
\(a^{2}\cosh^{2}(rt)\)
La lunghezza richiesta è data da: \[\int_{0}^{t_0}\left(\sqrt{E\left(\frac{\partial t}{\partial t}\right)^{2}+F\left(\frac{\partial t}{\partial t}\frac{\partial rt}{\partial t}\right)^{2}+G\left(\frac{\partial rt}{\partial t}\right)^{2}}\right)dt=\int_{0}^{t_0}\sqrt{a^{2}\cosh^{2}(rt)+a^{2}r^{2}\cosh^{2}(rt)}dt\]
\[=a\sqrt{1+r^{2}}\int_{0}^{t_0}\cosh(rt)dt=\frac{a\sqrt{1+r^{2}}\sinh(rt_0)}{r}\]
E' giusto?
P.S. qualcuno sa perché il segno di integrale e quello di radice vengono così piccoli?
Risposte
Sì. (Gli integrali mi appaiono di grandezza corretta con firefox 6, su un pc, ma più piccoli con le versioni precedenti su un altro. Credo dipenda dalla nuova impostazione del forum).
"ciampax":
Sì. (Gli integrali mi appaiono di grandezza corretta con firefox 6, su un pc, ma più piccoli con le versioni precedenti su un altro. Credo dipenda dalla nuova impostazione del forum).
In effetti è un problema che mi da solo Firefox. Con IE vedo bene. Grazie.
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