Esercizio intersezione tra sottospazi
Ciao, vi posto un esercizio per capire se ho fatto bene i conti oppure no.
Mi si danno due sottospazi di $R^4$
$V={(a,0,-b,3a)|a,b€R} Z={(0,2h,d,0)|h,d€R}$
Mi si chiede di determinare la dimensione e una base del sottospazio intersezione di questi due sottospazi.
Mi sono calcolato la dimensione dei due sottospazi, che è pari a 2, e poi la dimensione del sottospazio somma (3).Poi attraverso la formula di Grassmann ho trovato la dimensione dell'interseziine (1) e poi ho eguagliato le basi di V e Z e dopo aver fatto i conti ho trovato come base il vettore $(0,0,1,0)$.È corretto?
Se invece avessi dovuto calcolare l'intersezione di due sottospazi definiti da eq.cartesiane, bastava porle a sistema e da li estrarre una base, giusto?
Grazie a tutti.
Mi si danno due sottospazi di $R^4$
$V={(a,0,-b,3a)|a,b€R} Z={(0,2h,d,0)|h,d€R}$
Mi si chiede di determinare la dimensione e una base del sottospazio intersezione di questi due sottospazi.
Mi sono calcolato la dimensione dei due sottospazi, che è pari a 2, e poi la dimensione del sottospazio somma (3).Poi attraverso la formula di Grassmann ho trovato la dimensione dell'interseziine (1) e poi ho eguagliato le basi di V e Z e dopo aver fatto i conti ho trovato come base il vettore $(0,0,1,0)$.È corretto?
Se invece avessi dovuto calcolare l'intersezione di due sottospazi definiti da eq.cartesiane, bastava porle a sistema e da li estrarre una base, giusto?
Grazie a tutti.
Risposte
Eguagliato in che senso? Se le hai eguagliate facendo una combinazione lineare delle basi e poi risolvendo il sistema allora si è corretto
Ciao, si ho eguagliato le basi dei due sottospazi.Poi ,dopo aver svolto il sitema, ho moltiplicato le prime due coordinate del vettore che ho trovato per i vettori che costituiscono la base del primo sottospazio e ho trovato quindi la base del sottospazio intersezione.
Non ho capito bene, io ti dicevo ad esempio questo. Ti faccio un esempio generali. Hai due vettori e devi trovare l'intersezione. Io farei così. $v_1(1,0,2) , v_2(2,0,5)$. Combinazione lineare: $\alpha(1,0,2)=\beta(2,0,5)$. Risolvi il sistema, trovi le relazioni e trovi così dimensione e base del sottospazio intersezione
Ciao, mi spiego meglio.Nel caso dell'esercizio che ho postato, ho svolto il sistema che mi sono costruito uguagliando le basi dei due sottospazi.
E mi esce:
$s(0,-1,0,1) , s€R$
Dopodichè moltiplico le prime due componenti del vettore per la base del primo sottospazio( le sostituisco nella combinazione lineare):
$0(1,0,0,3) -1(0,0,-1,0) = (0,0,1,0)$
Allora (0,0,1,0) è una base del sottospazio intersezione.
Analogamente potevo moltiplicare le ultime due componenti del vettore per la base del secondo sottospazio(anche qui sostituisco nella combinazione lineare):
$0(0,2,0,0) +1(0,0,1,0) = (0,0,1,0)$
E mi esce:
$s(0,-1,0,1) , s€R$
Dopodichè moltiplico le prime due componenti del vettore per la base del primo sottospazio( le sostituisco nella combinazione lineare):
$0(1,0,0,3) -1(0,0,-1,0) = (0,0,1,0)$
Allora (0,0,1,0) è una base del sottospazio intersezione.
Analogamente potevo moltiplicare le ultime due componenti del vettore per la base del secondo sottospazio(anche qui sostituisco nella combinazione lineare):
$0(0,2,0,0) +1(0,0,1,0) = (0,0,1,0)$
Vi risulta?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo