Esercizio Intersezione Sottospazi Vettoriali
Buongiorno ragazzi, mi si presenta il seguente esercizio:
Siano :
$W1$ il sottospazio vettoriale di R$^3$ generato dai vettori: $u_1 = (1,1,−1)$ , $u_2 = (2,−1,1)$ ,
$W2$ il sottospazio vettoriale di $R^3$ generato dai vettori: $ v_1 = (1,2,−1) $, $ v_2 = (−1,−1,2) $.
Trovare la dimensione e una base di $ W1 ∩ W2 $ .
Per risolvere questo esercizio, ho impostato tale condizione:
$\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 $= $ \lambda_3 v_1+ \lambda_4 v_2$
Fatto questo, mi ricavo il sistema:
$\{(\lambda_1 + 2 \lambda_2-\lambda_3+\lambda_4=0),(\lambda_1 -\lambda_2-2\lambda_3+\lambda_4= 0),(-\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3-2\lambda_4= 0):}$
Ora scrivo il sistema in forma di matrice:
$((1,2,-1,1),(1,-1,-2,1),(-1,1,1,-2))$
ed con le opportune riduzioni si riduce ad
$((1,2,-1,1),(0,3,1,0),(0,0,1,1))$
riscrivo il sistema:
$\{(\lambda_1 + 2 \lambda_2-\lambda_3+\lambda_4=0),(3\lambda_2+\lambda_3=0),(\lambda_3+\lambda_4=0):}$
Siccome vi sono 3 equazioni e 4 parametri scrivo:
$\lambda_2$=t; da cui ricavo che $\lambda_1=-8t$ , $\lambda_3=-3t$ , $\lambda_4=3t$
Quindi una base $ W1 ∩ W2 $ è $(-8,1,-3,3)$ed ha dimensione 1 .
Il problema nasce che guardando le soluzioni proposte dal professore si ha che la dimensione è 1 mentre $ W1 ∩ W2 $ è generato da $L(2,3,-3)$ come mai?
dove ho sbagliato?
scusate la lunghezza,
grazie a coloro che mi aiuteranno!
Siano :
$W1$ il sottospazio vettoriale di R$^3$ generato dai vettori: $u_1 = (1,1,−1)$ , $u_2 = (2,−1,1)$ ,
$W2$ il sottospazio vettoriale di $R^3$ generato dai vettori: $ v_1 = (1,2,−1) $, $ v_2 = (−1,−1,2) $.
Trovare la dimensione e una base di $ W1 ∩ W2 $ .
Per risolvere questo esercizio, ho impostato tale condizione:
$\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 $= $ \lambda_3 v_1+ \lambda_4 v_2$
Fatto questo, mi ricavo il sistema:
$\{(\lambda_1 + 2 \lambda_2-\lambda_3+\lambda_4=0),(\lambda_1 -\lambda_2-2\lambda_3+\lambda_4= 0),(-\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3-2\lambda_4= 0):}$
Ora scrivo il sistema in forma di matrice:
$((1,2,-1,1),(1,-1,-2,1),(-1,1,1,-2))$
ed con le opportune riduzioni si riduce ad
$((1,2,-1,1),(0,3,1,0),(0,0,1,1))$
riscrivo il sistema:
$\{(\lambda_1 + 2 \lambda_2-\lambda_3+\lambda_4=0),(3\lambda_2+\lambda_3=0),(\lambda_3+\lambda_4=0):}$
Siccome vi sono 3 equazioni e 4 parametri scrivo:
$\lambda_2$=t; da cui ricavo che $\lambda_1=-8t$ , $\lambda_3=-3t$ , $\lambda_4=3t$
Quindi una base $ W1 ∩ W2 $ è $(-8,1,-3,3)$ed ha dimensione 1 .
Il problema nasce che guardando le soluzioni proposte dal professore si ha che la dimensione è 1 mentre $ W1 ∩ W2 $ è generato da $L(2,3,-3)$ come mai?
dove ho sbagliato?
scusate la lunghezza,
grazie a coloro che mi aiuteranno!
Risposte
Ciao,
prova a determinare una base per $W_1$ e $W_2$ e determina le dimensioni di questi sottospazi e delle loro rispettive operazioni (somma/intersezione)
prova a determinare una base per $W_1$ e $W_2$ e determina le dimensioni di questi sottospazi e delle loro rispettive operazioni (somma/intersezione)
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