Esercizio intersezione piano e famiglia di rette in R3
Si considerino il piano e la famiglia di rette di R3 seguenti
π: 3x+y+2z+1=0
rk: (x y z)= s (3 k 2) + (0 0 1)
determinare l'intersezione tra piano e rk al variare di k appartenente ad R.
Non riesco a capire in che forma è scritta l'eq di quella presumo sia una stella di rette visto che siamo in R3 e quindi non so come costruire il sistema tra i due per determinarne l'intersezione!
per k = 1 scrivere l'equazione di una sfera con centro su rk, raggio = 1 e tangente a π
devo trovare il punto di tangenza, imporre la distanza tra P e C della sfera =1 e ricavare il centro da sostituire nell'eq generale della sfera?
Non riesco ad utilizzare i miei dati perchè non riesco a capire cosa inserire nell'eq generale ad a b c d secondo me. aiuto!
Grazie anticipatamente
π: 3x+y+2z+1=0
rk: (x y z)= s (3 k 2) + (0 0 1)
determinare l'intersezione tra piano e rk al variare di k appartenente ad R.
Non riesco a capire in che forma è scritta l'eq di quella presumo sia una stella di rette visto che siamo in R3 e quindi non so come costruire il sistema tra i due per determinarne l'intersezione!
per k = 1 scrivere l'equazione di una sfera con centro su rk, raggio = 1 e tangente a π
devo trovare il punto di tangenza, imporre la distanza tra P e C della sfera =1 e ricavare il centro da sostituire nell'eq generale della sfera?
Non riesco ad utilizzare i miei dati perchè non riesco a capire cosa inserire nell'eq generale ad a b c d secondo me. aiuto!
Grazie anticipatamente
Risposte
L'intersezione richiesta si ottiene risolvendo al variare di \( k \in \mathbb{R} \) il sistema lineare
\[ \begin{cases} 3x + y + 2z + 1 = 0 \\ x = 3s \\ y = ks \\ z = 2s + 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x + y + 2z + 1 = 0 \\ x = 3s \\ y = ks \\ z = 2s + 1 \end{cases} \]
Ok grazie mille, era facilissimo!
per la seconda parte invece? Ci ho preso?
per la seconda parte invece? Ci ho preso?
La tua idea è buona: di sfere del tipo descritto ne esistono due ed essendo \( r_1 \perp \pi \) esse hanno lo stesso punto di tangenza.
Tale punto è
\[ P = r_1 \cap \pi \]
Tale punto è
\[ P = r_1 \cap \pi \]
Ti dispiace svolgere l'esercizio così controllo tutto?
Graziegrazie
Graziegrazie
Secondo le regole sei tu che devi postare i conti e io li controllo.
Ti ho dato tutte le dritte che servono per concludere.
Ti ho dato tutte le dritte che servono per concludere.
ok scusami allora, sono nuova ed inesperta.
Allora vediamo
svolgo il sistema e come risultato devo esplicitare s dipendente da k giusto? mi viene s=-3/ (13+k)
per quanto riguarda la sfera mi ricavo la cartesiana di r che è data da y=x/3 e z=2y+1 e metto a sistema con il piano per trovare P che mi servirà per trovare il centro della sfera.
P mi viene
x=9/14
y=3/14
z=10/7
possibile?
credo sia la parametrica della famiglia di rette a crearmi problemi e a farmi venire i dubbi su come impostare i sitemi
Allora vediamo
svolgo il sistema e come risultato devo esplicitare s dipendente da k giusto? mi viene s=-3/ (13+k)
per quanto riguarda la sfera mi ricavo la cartesiana di r che è data da y=x/3 e z=2y+1 e metto a sistema con il piano per trovare P che mi servirà per trovare il centro della sfera.
P mi viene
x=9/14
y=3/14
z=10/7
possibile?
credo sia la parametrica della famiglia di rette a crearmi problemi e a farmi venire i dubbi su come impostare i sitemi
Le coordinate da te proposte non vanno bene perché in quel modo \( P \notin \pi \), assurdo.
Ti propongo un modo semplice per gestire questo tipo di situazione.
Per quanto riguarda la sfera, hai \( k = 1 \), dunque l'intersezione \( r_1 \cap \pi \) è data dal valore del parametro \( s = -\frac{3}{14} \).
Basta sostituire il parametro nell'equazione di \( r_1 \) per ricavare che \( P \) ha coordinate \( \left ( -\frac{9}{14},\, -\frac{3}{14},\, \frac{4}{7} \right ) \).
Ti propongo un modo semplice per gestire questo tipo di situazione.
Per quanto riguarda la sfera, hai \( k = 1 \), dunque l'intersezione \( r_1 \cap \pi \) è data dal valore del parametro \( s = -\frac{3}{14} \).
Basta sostituire il parametro nell'equazione di \( r_1 \) per ricavare che \( P \) ha coordinate \( \left ( -\frac{9}{14},\, -\frac{3}{14},\, \frac{4}{7} \right ) \).
giustoooo! non avevo pensato di sostituire 1 ad s=-3/ (13+k) quindi poi sono caduta in errori di calcolo stupidi.
Ora applico per trovare le coordinate di C procedo sommando 1 a quelle di P?
C= (5/14, 11/14, 11/7) ?
Grazie per l'immensa pazienza e grazie mille per l'aiuto C:
se ti capita leggi anche gli altri miei post
Ora applico per trovare le coordinate di C procedo sommando 1 a quelle di P?
C= (5/14, 11/14, 11/7) ?
Grazie per l'immensa pazienza e grazie mille per l'aiuto C:
se ti capita leggi anche gli altri miei post
"DarkestNight":
Ora applico per trovare le coordinate di C procedo sommando 1 a quelle di P?
C= (5/14, 11/14, 11/7) ?
Perché?
perchè sommavo la distanza ma in effetti non torna poi con il raggio!
Come faccio a ricavarmi le coordinate di C?
provavo ad usare la formula della distanza 1= (Xc-X0)^2 +...... ma non va bene nemmeno questa :/ (nel pallone)
Come faccio a ricavarmi le coordinate di C?
provavo ad usare la formula della distanza 1= (Xc-X0)^2 +...... ma non va bene nemmeno questa :/ (nel pallone)
Il trucco sta nell'esprimere le coordinate di \( C \) in funzione di un solo parametro.
Ti do un indizio: il fatto che \( C \in r_1 \) ti è d'aiuto?
Ti do un indizio: il fatto che \( C \in r_1 \) ti è d'aiuto?
deve soddisfare l'equazione di r1 ma come mi assicuro che sia proprio il centro?
Devo imporre qualcos'altro forse?
Devo imporre qualcos'altro forse?
Se deve soddisfare l'equazione di \( r_1 \), allora il centro ha coordinate
\[ C_s\, (3s,\, s,\, 2s + 1),\, s \in \mathbb{R} \]
Ecco allora che le coordinate del centro sono funzione di un solo parametro, come volevi.
Prima ti ho spiegato che di sfere del tipo richiesto ce ne sono due, di conseguenza devi aspettarti due valori di \( s \) che soddisfano l'equazione della distanza (il che è scontato, una volta che ti accorgi che tale equazione è di secondo grado in \( s \)).
\[ C_s\, (3s,\, s,\, 2s + 1),\, s \in \mathbb{R} \]
Ecco allora che le coordinate del centro sono funzione di un solo parametro, come volevi.
Prima ti ho spiegato che di sfere del tipo richiesto ce ne sono due, di conseguenza devi aspettarti due valori di \( s \) che soddisfano l'equazione della distanza (il che è scontato, una volta che ti accorgi che tale equazione è di secondo grado in \( s \)).
Mi vengono due risultati ma ho la formula risolutiva con numeri molto strani tipo 68/7.
comunque l'importante è il procedimento!
comunque l'importante è il procedimento!
"DarkestNight":
Mi vengono due risultati ma ho la formula risolutiva con numeri molto strani tipo 68/7.
È normale.
Le coordinate dei centri sono
\[ C_1\, \left ( \frac{-9 + 3 \sqrt{14}}{14},\, \frac{-3 + \sqrt{14}}{14},\, \frac{4 + \sqrt{14}}{7} \right ) \quad \text{e} \quad C_2\, \left ( \frac{-9 - 3 \sqrt{14}}{14},\, \frac{-3 - \sqrt{14}}{14},\, \frac{4 - \sqrt{14}}{7} \right ) \]
Benissimo! Allora ottengo
a1= 6√14 / 7
b1= 3- √14 / 7
c1= -10√4 / 7
a2=12√14 / 7
b2=3+√14 / 7
c2=-6√14 / 7
che sostiotuiro all'eq.ni generali della sfera
a1= 6√14 / 7
b1= 3- √14 / 7
c1= -10√4 / 7
a2=12√14 / 7
b2=3+√14 / 7
c2=-6√14 / 7
che sostiotuiro all'eq.ni generali della sfera
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