Esercizio intersezione e somma tra sottospazi
Ciao, vi propongo questo esercizio.
$V=Span{(1,2,-1),(0,1,0)}$ e $W={v€R^3 t.c. x+z=0}$ sono due sottospazi di $R^3$. Trovare base e dimensione di $V+W$ e del sottospazio intersezione tra i due sottospazi.
Ho trovato che $dimV=2$ e una sua base è $(1,2,-1),(0,1,0)$ e che $dimW=2$ e una sua base è $(0,1,0),(-1,0,1)$.
$dim V+W=2$ e una sua base è $(1,2,-1),(0,1,0)$.
La dimensione del sottospazio intersezione è sempre 2 e una sua base è $(1,0,-1),(0,1,0)$.
Da tutto ciò si conclude che in realtà Ve W sono lo stesso sottospazio in quanto hanno la stessa dimensione e la stessa base.Grazie.
$V=Span{(1,2,-1),(0,1,0)}$ e $W={v€R^3 t.c. x+z=0}$ sono due sottospazi di $R^3$. Trovare base e dimensione di $V+W$ e del sottospazio intersezione tra i due sottospazi.
Ho trovato che $dimV=2$ e una sua base è $(1,2,-1),(0,1,0)$ e che $dimW=2$ e una sua base è $(0,1,0),(-1,0,1)$.
$dim V+W=2$ e una sua base è $(1,2,-1),(0,1,0)$.
La dimensione del sottospazio intersezione è sempre 2 e una sua base è $(1,0,-1),(0,1,0)$.
Da tutto ciò si conclude che in realtà Ve W sono lo stesso sottospazio in quanto hanno la stessa dimensione e la stessa base.Grazie.
Risposte
Allora penso sia $W={(x,y,z) in RR^3 | x+z=0}$ Confermi?
In ogni caso vale questo fatto
" sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita e $U$ e $W$ sottospazi di $V$ tali che $dim(U)=dim(W)$ e $U sub W$ o $W sub U$. Allora $U=W$"
Nel nostro caso visto che $(1,2,-1),(0,1,0) in W$ allora $V sub W$. Inoltre hanno la stessa dimensione e $U=W$ per quanto detto prima.
In tali condizioni $V nn W=V=W$ e $V+W=V=W$ e $dim(V nn W)=dim(V+W)=2$ e la formula di Grassman conferma
In ogni caso vale questo fatto
" sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita e $U$ e $W$ sottospazi di $V$ tali che $dim(U)=dim(W)$ e $U sub W$ o $W sub U$. Allora $U=W$"
Nel nostro caso visto che $(1,2,-1),(0,1,0) in W$ allora $V sub W$. Inoltre hanno la stessa dimensione e $U=W$ per quanto detto prima.
In tali condizioni $V nn W=V=W$ e $V+W=V=W$ e $dim(V nn W)=dim(V+W)=2$ e la formula di Grassman conferma
Sì confermo.Grazie.
Non si poteva concludere che $W=V$ anche solo osservando che hanno la stessa base e la stessa dimensione?
Sì: se due sottospazi $U$ e $W$ condividono la base $B={e_1,...,e_n}$ allora uno è contenuto nell'altro.
Infatti ${e_1,...,e_n}$ è in particolare una base di $U$ e sappiamo che qualunque sia $u in U$ esistono unici $n$ scalari $u_1,...,u_n$ tali che $u=u_1e_1+...+u_n e_n$.
Vedendo $B$ come una base di $W$ si ha $e_1,...,e_n in W$ e, per la stabilità delle operazioni di $W$, si ha $u=u_1e_1+...+u_n e_n in W$, cioè $u in W$ per ogni $u in U$. Un ragionamento identico prova che $W sub U$
Infatti ${e_1,...,e_n}$ è in particolare una base di $U$ e sappiamo che qualunque sia $u in U$ esistono unici $n$ scalari $u_1,...,u_n$ tali che $u=u_1e_1+...+u_n e_n$.
Vedendo $B$ come una base di $W$ si ha $e_1,...,e_n in W$ e, per la stabilità delle operazioni di $W$, si ha $u=u_1e_1+...+u_n e_n in W$, cioè $u in W$ per ogni $u in U$. Un ragionamento identico prova che $W sub U$
Grazie.
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