Esercizio interessante sulla continuità
Sia f la funzione di $R^2$ in $R$ definita da: $f(x,y)=x+y$.
La funzione è continua se $R^2$ e $R$ sono dotate delle rispettive topologie naturali (ovvio perchè sono continue le proiezioni).
Tralasciando la topologia banale o la discreta cambiare o la topologia di R^2 o di R in modo che la funzione f non risulti continua.
Avevo pensato di ragionare mediante la relazione di finezza. So che la continuità di una funzione è "preservata" se alla topologia del dominio sostituiamo una ad essa più fine o se alla topologia del codominio sostituiamo una meno fine.
Un tentativo potrebbe essere quella di sostituire nel dominio una topologia meno fine, ma non arriverei comunque a nessuna parte poichè studierei la continuità in base alla topologia di partenza (per quanto detto sopra) preservando dunque la continuità. Un modo allora potrebbe essere quello di sostituire nella topologia del dominio una ad essa più fine e studiare la continuità della funzione in tale nuovo spazio,ma in $R^2$ trovare una topologia più fine lo ritengo più difficile, allora ragionerei a questo punto sul codominio. Con un ragionamento analogo a quanto nel caso del codominio, adesso però sostituisco alla topologia del codominio una ad esso meno fine. Visto che la topologia del codominio è quella naturale, una ad essa meno fine è quella delle semirette sinistre aperte. Potrei studiare allora la continuità di questa funzione in tale topologia. Allora dovrei vedere che la controimmagine di ogni semiretta sinistra aperta è un aperto della topologia naturale.
$f^(-1) ]-oo,0[ $ è la bisettrice del secondo è quarto quadrante, in particolare è una retta, che nella topologia naturale di $R^2$ è un chiuso.
Dunque la funzione assegnata è non continua se nel dominio c'è la topologia naturale e nel codominio la topologia delle semirette sinistre aperte.
La funzione è continua se $R^2$ e $R$ sono dotate delle rispettive topologie naturali (ovvio perchè sono continue le proiezioni).
Tralasciando la topologia banale o la discreta cambiare o la topologia di R^2 o di R in modo che la funzione f non risulti continua.
Avevo pensato di ragionare mediante la relazione di finezza. So che la continuità di una funzione è "preservata" se alla topologia del dominio sostituiamo una ad essa più fine o se alla topologia del codominio sostituiamo una meno fine.
Un tentativo potrebbe essere quella di sostituire nel dominio una topologia meno fine, ma non arriverei comunque a nessuna parte poichè studierei la continuità in base alla topologia di partenza (per quanto detto sopra) preservando dunque la continuità. Un modo allora potrebbe essere quello di sostituire nella topologia del dominio una ad essa più fine e studiare la continuità della funzione in tale nuovo spazio,ma in $R^2$ trovare una topologia più fine lo ritengo più difficile, allora ragionerei a questo punto sul codominio. Con un ragionamento analogo a quanto nel caso del codominio, adesso però sostituisco alla topologia del codominio una ad esso meno fine. Visto che la topologia del codominio è quella naturale, una ad essa meno fine è quella delle semirette sinistre aperte. Potrei studiare allora la continuità di questa funzione in tale topologia. Allora dovrei vedere che la controimmagine di ogni semiretta sinistra aperta è un aperto della topologia naturale.
$f^(-1) ]-oo,0[ $ è la bisettrice del secondo è quarto quadrante, in particolare è una retta, che nella topologia naturale di $R^2$ è un chiuso.
Dunque la funzione assegnata è non continua se nel dominio c'è la topologia naturale e nel codominio la topologia delle semirette sinistre aperte.
Risposte
carino.
Ti suggerisco un'altra maniera che ti costruisce una intera famiglia a priori piu' che continua di esempi (a posteriori e' probabile che molte delle varie topologie coincidono).
Siano $(x_0,y_0), (x_1,y_1)\in\mathbb R^2$ tali che $x_0+y_0\ne x_1+y_1$. Scegli un numero reale $r$ e prendi una qualunque funzione $g:\mathbb R^2\rightarrow R$ tale che $f(x_0,y_0)=f(x_1,y_1)$. Sia $\tau$ a topologia debole su $\mathbb R^2$ indotta da $g$ rispetto alla euclidea sul codominio $\mathbb R$. Per definizione di topologia debole la successione costante $(x_0,y_0)$ converge al punto $(x_1,y_1)$. Ne segue che la tua $f$ di partenza non puo' essere continua rispetto a questa topologia, altrimenti sarebbe $x_0+y_0=x_1+y_1$, contrariamente alla scelta iniziale.
Ps. con un po' piu' di fatica penso si possa prendere anche una topologia di Hausdorff.
Ti suggerisco un'altra maniera che ti costruisce una intera famiglia a priori piu' che continua di esempi (a posteriori e' probabile che molte delle varie topologie coincidono).
Siano $(x_0,y_0), (x_1,y_1)\in\mathbb R^2$ tali che $x_0+y_0\ne x_1+y_1$. Scegli un numero reale $r$ e prendi una qualunque funzione $g:\mathbb R^2\rightarrow R$ tale che $f(x_0,y_0)=f(x_1,y_1)$. Sia $\tau$ a topologia debole su $\mathbb R^2$ indotta da $g$ rispetto alla euclidea sul codominio $\mathbb R$. Per definizione di topologia debole la successione costante $(x_0,y_0)$ converge al punto $(x_1,y_1)$. Ne segue che la tua $f$ di partenza non puo' essere continua rispetto a questa topologia, altrimenti sarebbe $x_0+y_0=x_1+y_1$, contrariamente alla scelta iniziale.
Ps. con un po' piu' di fatica penso si possa prendere anche una topologia di Hausdorff.
Genialeeeeeeeeeeeeeeeeee..., ma il mio procedimento è corretto?
Edit: ho scritto meglio la soluzione (sopra).. e' anche piu' semplice.
Il tuo e' correttissimo, bravo! Ti sto solo proponendo un'altro punto di vista.
Il tuo e' correttissimo, bravo! Ti sto solo proponendo un'altro punto di vista.
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