Esercizio in (V3,O)
Ciao!
è un esercizio che ho provato a svolgere, ma di cui non sono sicura.
Sia $(V_3,O)$ lo spazio vettoriale dei vettori applicati in O. Sia $(e_1,e_2,e_3)$ una base ortonormale ordinata di $V_3$ e siano
$u=e_1+e_3$, $v=2e_2$, $w=e_3-e_1$
1) Si calcolino gli angoli tra ogni coppia dei tre vettori $u,v,w$
2)si dica se ${u,v,w}$ è una base di $(V_3,O)$ ed in tal caso si dica se si tratta di una base ortonormale
3)si trovino le componenti di $e_1,e_2,e_3$ rispetto a $(u,v,w)$
4)si considerino le chiusure lineari $L(u,v)$ e $L(v,w)$ e si dica se la somma $L(u,v)+L(v,w)$ è diretta.
5)in caso negativo si trovi un vettore che non si scrive in modo unico come somma di un vettore di $L(u,v)$ e di uno di $L(v,w)$
io l'ho svolto in questo modo:
1) $cos uv= ()/(|u|*|v|)=0$
$cos uw= ()/(|u|*|w|)=0$
$cos vw= ()/(|v|*|w|)=0$
2) verifichiamo che ${u,v,w}$ sia una base di $V_3$
$\alpha(1,0,1)+\beta(0,2,0)+\gamma(-1,0,1)=(0,0,0)$
${(\alpha-\gamma=0),(2\beta=0),(\alpha+\gamma=0):}$
${(\alpha=0),(\beta=0),(\gamma=0):}$
i tre vettori sono linearmente indipendenti.
se dimostriamo che costituiscono un sistema di generatori per $V_3$ allora automaticamente risulteranno essere base.
$(x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,2,0)+c(-1,0,1)$
${(x=a-c),(y=2b),(z=a+c):}$
${(a=(x+z)/2),(b=y/2),(c=(z-x)/2):}$
a questo punto, per vedere se si tratta di una base ortonormale ci basta calcolarne il modulo e vedere se questo risulta essere $1$ per ogni vettore $u,v,w$.
$|u|=sqrt(1^2+0+1^2)=sqrt(2)$
$|v|=sqrt(0+2^2+0)=2$
$|w|=sqrt((-1)^2+0+1^2)=sqrt(2)$
non si tratta quindi di una base ortonormale.
3) $e_1=(1,0,0)=1/2u-1/2w$
$e_2=(0,1,0)=1/2v$
$e_3=(0,0,1)=1/2u+1/2w$
4) Per vedere se la somma $L(u,v)+L(v,w)$ è diretta bisogna vedere se $L(u,v)nnL(v,w)={0}$
$L(u,v)={\alphau+\betav|\alpha,\beta in RR}={(\alpha, 2\beta,\alpha)|\alpha,\beta in RR}$
$L(v,w)={\gammav+\deltaw|\gamma,\delta in RR}={(-\delta,2\gamma,\delta)|\gamma,\delta in RR}$
a questo punto non saprei come proseguire..cioè, come verificare se l'intersezione è effettivamente il vettore nullo o meno..
è un esercizio che ho provato a svolgere, ma di cui non sono sicura.
Sia $(V_3,O)$ lo spazio vettoriale dei vettori applicati in O. Sia $(e_1,e_2,e_3)$ una base ortonormale ordinata di $V_3$ e siano
$u=e_1+e_3$, $v=2e_2$, $w=e_3-e_1$
1) Si calcolino gli angoli tra ogni coppia dei tre vettori $u,v,w$
2)si dica se ${u,v,w}$ è una base di $(V_3,O)$ ed in tal caso si dica se si tratta di una base ortonormale
3)si trovino le componenti di $e_1,e_2,e_3$ rispetto a $(u,v,w)$
4)si considerino le chiusure lineari $L(u,v)$ e $L(v,w)$ e si dica se la somma $L(u,v)+L(v,w)$ è diretta.
5)in caso negativo si trovi un vettore che non si scrive in modo unico come somma di un vettore di $L(u,v)$ e di uno di $L(v,w)$
io l'ho svolto in questo modo:
1) $cos uv= (
$cos uw= (
$cos vw= (
2) verifichiamo che ${u,v,w}$ sia una base di $V_3$
$\alpha(1,0,1)+\beta(0,2,0)+\gamma(-1,0,1)=(0,0,0)$
${(\alpha-\gamma=0),(2\beta=0),(\alpha+\gamma=0):}$
${(\alpha=0),(\beta=0),(\gamma=0):}$
i tre vettori sono linearmente indipendenti.
se dimostriamo che costituiscono un sistema di generatori per $V_3$ allora automaticamente risulteranno essere base.
$(x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,2,0)+c(-1,0,1)$
${(x=a-c),(y=2b),(z=a+c):}$
${(a=(x+z)/2),(b=y/2),(c=(z-x)/2):}$
a questo punto, per vedere se si tratta di una base ortonormale ci basta calcolarne il modulo e vedere se questo risulta essere $1$ per ogni vettore $u,v,w$.
$|u|=sqrt(1^2+0+1^2)=sqrt(2)$
$|v|=sqrt(0+2^2+0)=2$
$|w|=sqrt((-1)^2+0+1^2)=sqrt(2)$
non si tratta quindi di una base ortonormale.
3) $e_1=(1,0,0)=1/2u-1/2w$
$e_2=(0,1,0)=1/2v$
$e_3=(0,0,1)=1/2u+1/2w$
4) Per vedere se la somma $L(u,v)+L(v,w)$ è diretta bisogna vedere se $L(u,v)nnL(v,w)={0}$
$L(u,v)={\alphau+\betav|\alpha,\beta in RR}={(\alpha, 2\beta,\alpha)|\alpha,\beta in RR}$
$L(v,w)={\gammav+\deltaw|\gamma,\delta in RR}={(-\delta,2\gamma,\delta)|\gamma,\delta in RR}$
a questo punto non saprei come proseguire..cioè, come verificare se l'intersezione è effettivamente il vettore nullo o meno..
Risposte
Ho provato a completare l'esercizio.
4) $L(u,v)={(\alpha,2\beta,\alpha)|\alpha,\beta in RR}$
$L(v,w)={(-\delta,2\gamma,\delta)|\delta,\gamma in RR}$
$L(u,v)+L(v,w)={(\alpha-\delta,2(\beta+\gamma),\alpha+\delta)|\alpha,\beta,\gamma,\delta in RR}$
${(\alpha-\delta=0),(2(\beta+\gamma)=0),(\alpha+\delta=0):}$
${(\alpha=0),(\beta=-\gamma),(\delta=0):}$
per cui il vettore $(0,t,0)$ con $t in RR$ apparterrà all'intersezione delle due chiusure lineari.
pertnto la somma non sarà diretta.
5)$(x,y,z)=(\alpha,2\beta,\alpha)+(-\delta,2\gamma,\delta)$
${(x=\alpha-\delta),(y=2(\beta+\gamma)),(z=\alpha+\delta):}$
${(x+\delta=\alpha),(y=2(\beta+\gamma)),(z=x+2\delta):}$
quindi se $\alpha!=1/2(z+x)$ e $\delta!=1/2(z-x)$ $AA x,y,z in V_3$ il vettore $(x,y,z)$ non potrà essere scrito come somma di $L(u,v)+L(v,w)$
4) $L(u,v)={(\alpha,2\beta,\alpha)|\alpha,\beta in RR}$
$L(v,w)={(-\delta,2\gamma,\delta)|\delta,\gamma in RR}$
$L(u,v)+L(v,w)={(\alpha-\delta,2(\beta+\gamma),\alpha+\delta)|\alpha,\beta,\gamma,\delta in RR}$
${(\alpha-\delta=0),(2(\beta+\gamma)=0),(\alpha+\delta=0):}$
${(\alpha=0),(\beta=-\gamma),(\delta=0):}$
per cui il vettore $(0,t,0)$ con $t in RR$ apparterrà all'intersezione delle due chiusure lineari.
pertnto la somma non sarà diretta.
5)$(x,y,z)=(\alpha,2\beta,\alpha)+(-\delta,2\gamma,\delta)$
${(x=\alpha-\delta),(y=2(\beta+\gamma)),(z=\alpha+\delta):}$
${(x+\delta=\alpha),(y=2(\beta+\gamma)),(z=x+2\delta):}$
quindi se $\alpha!=1/2(z+x)$ e $\delta!=1/2(z-x)$ $AA x,y,z in V_3$ il vettore $(x,y,z)$ non potrà essere scrito come somma di $L(u,v)+L(v,w)$
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