[Esercizio] Immagine della mappa di Gauss

[Raptorista1]

Buona sera a tutti!
Quest'oggi vi propongo un esercizio di geometria differenziale, ambito in cui mi sto addentrando da solo, studiando un libro preso in biblioteca, ma che trovo molto interessante!

L'esercizio chiede di determinare quale porzione della sfera unitaria è coperta dall'immagine della mappa di Gauss della superficie
\[
z = x^2 + y^2.
\]
Per prima cosa, stabilità l'orientazione positiva come quella per cui il vettore normale punta verso il senso negativo di \(z\), immagino la situazione e penso che la risposta sia "la semisfera con \(z < 0\)".

Passando ai calcoli, parametrizzo la superficie come
\[
x(u,v) = \begin{pmatrix} u \\ v \\ u^2 + v^2 \end{pmatrix}
\]
e cerco il vettore normale facendo
\[
\partial_u x \wedge \partial_v x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2u \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2u \\ -2v \\ 1 \end{pmatrix}
\]
e lo normalizzo, scegliendo i segni per avere l'orientazione come detto sopra ed ottengo, detto \(\zeta = \sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}\)
\[
n = \begin{pmatrix} \frac{2u}{\zeta} \\ \frac{2v}{\zeta} \\ -\frac{1}{\zeta} \end{pmatrix}.
\]

Ora faccio divergere \(u\) e \(v\), ma qui salta fuori la mia impreparazione sui limiti in più dimensioni:
\[
n_\infty = \lim_{u,v \to \infty, \infty}
\begin{pmatrix}
\frac{2u}{\sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}} \\
\frac{2v}{\sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}} \\
-\frac{1}{\sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}}
\end{pmatrix}
\]
Questo come lo risolvo?
So che il limite potrebbe dipendere da come \(u\) e \(v\) divergono, se lungo una retta del tipo \(v = mu\) o una parabola o altro...
Ciò che mi aspettavo era di riuscire a concludere che nelle condizioni del passaggio al limite il versore giacesse nel piano \(xy\), e questo è abbastanza evidente dalla terza componente, che tende a \(0^-\), ma questo mi basta per concludere?
La situazione sembra complicata, ma è quella giusta in cui addentrarsi?

Alternativamente, ho pensato di passare tutto in coordinate polari con le solite condizioni
\begin{cases}
x = \rho \cos \varphi \sin \psi \\
y = \rho \sin \varphi \sin \psi \\
z = \rho \sin \varphi
\end{cases}

e nel sistema appena scritto, sostituendo ai membri di sinistra le componenti di \(n\) e ricordando che \(\rho = 1\), ricavo

\begin{cases}
\sin \varphi = \frac{1}{\zeta} \\
\sin \psi = -2v \\
\cos \varphi = \frac{u}{v\zeta}
\end{cases}

ma già qui mi accorgo di qualcosa che non va, infatti la seconda equazione mi dice che se faccio divergere \(v\) vado fuori dal codominio del seno...

Mi sembra un bel casino, ed ho il presentimento che ci sia qualche errore di calcolo, da qualche parte.
Chi mi aiuta?
Grazie a tutti in anticipo!

[Raptorista1]

Ok, ci ho pensato un po' e mi sono venute in mente due cose.
Primo: arrivato al punto prima di passare in coordinate polari, mi sento molto vicino alla conclusione; dovrei solo far vedere che posso ottenere un versore con direzione qualunque facendo variare il modo in cui \((u,v)\) tende a \((\infty, \infty)\), giusto?

Seconda idea, più intelligente: siccome la superficie è simmetrica rispetto all'asse \(z\), potrei comodamente studiare il versore normale ristretto ad
\begin{cases}
z = x^2 + y^2 \\
y = 0 \\
x > 0
\end{cases}
cioè alla mezza parabola \(z = x^2\) che ottengo secando con un semi piano comodo e poi deducendo il resto per simmetria?
In questo modo avrei che, lungo la sola mezza parabola, il versore è parallelo alla retta perpendicolare alla tangente nel punto, cioè alla retta di coefficiente angolare \(m = -\frac{1}{2x}\) ed ora, facendo il limite al divergere di \(x\) si vede chiaramente che il versore copre tutte le direzioni con coefficiente angolare \(m < 0\).

Ok, ora mi sembra che le cose abbiano già più senso!

[maurer]

Mi scuso innanzi tutto perché rispondo senza aver letto. Adesso non ce la faccio davvero più, ma domani rimedierò. Volevo soltanto segnalarti un teorema di Ossermann (click) che asserisce che l'immagine della mappa di Gauss di una superficie completamente minimale e non piana è densa sulla sfera. Ho pensato che potesse interessarti!

[Raptorista1]

E di che ti scusi? Figurati, sai quante volte io banno utenti senza leggere quello che scrivono..
Buahahahah, scherzo!

Stando al mio libro, mi mancano ancora 50 pagine al teorema di Osserman, quindi immagino di doverne fare a meno. Comunque mi sembra di essere a buon punto con l'esercizio, volevo solamente una conferma, anche perché, in realtà, questo è il prologo al vero esercizio che mi preoccupa

[maurer]

Non volevo dire che dovevi usarlo. Non sapendo che libro stavi consultando, volevo semplicemente informarti dell'esistenza di quel teorema che è vagamente collegato alla tipologia di esercizio che avevi proposto.

Comunque ho letto adesso e sembra che le idee vadano bene. In particolare l'ultima, quella di usare la simmetria della superficie mi sembra ottima! Che libro leggi, se posso chiedere?

[Raptorista1]

Do Carmo - Differential Geometry of curves and surfaces.

Sono contento che vada bene il terzo tentativo, però ora ti chiedo di consigliarmi un metodo più generale, perché il vero esercizio che volevo risolvere è un esercizio con stessa richiesta ma sulla catenoide
\[
x^2 + y^2 = (\cosh z)^2
\]
Che non so disegnare e non so se ha simmetrie o altro..
Che faccio in questo caso?

[maurer]

In realtà non è che sono proprio esperto di geometria differenziale intesa in senso stretto. In ogni caso, non è vero che non sai se ci sono simmetrie. Puoi ruotare il piano (x,y) e la superficie non cambia, cioè hai una simmetria radiale proprio come nel caso precedente (questo lo deduco in maniera puramente algebrica, guardando le simmetrie dell'espressione analitica della tua funzione). Infine, pensandoci meglio, la tua scelta delle coordinate sferiche non è stata la più intelligente, perché non rispecchia la simmetria del problema. Che ne diresti di fare un tentativo con le coordinate cilindriche? Scommetto che apportano una grandissima semplificazione in tutti i casi [tex]x^2 + y^2 = f(z)[/tex]!

[Raptorista1]

Sì, potrebbe essere una buona idea!
Farò qualche prova, grazie per la dritta!