Esercizio gruppo fondamentale
Ciao a tutti, mi è capitato questo esercizio all'esame oggi:
Trovare il gruppo fondamentale di $X={(x_1,x_2,x_3)in RR^3, \quad max|x_i|=1, \quad x_1 ^2+x_2 ^2 + x_3 ^2 > 1}$ in $p=(1,1,1)$
che dovrebbe essere il cubo vuoto senza i 6 centri di ogni faccia, ma non ho saputo fare molto... come bisognerebbe procedere? Ho provato a vedere tutti i tipi di lacci possibili, ma mi sono impicciato....
Grazie
Trovare il gruppo fondamentale di $X={(x_1,x_2,x_3)in RR^3, \quad max|x_i|=1, \quad x_1 ^2+x_2 ^2 + x_3 ^2 > 1}$ in $p=(1,1,1)$
che dovrebbe essere il cubo vuoto senza i 6 centri di ogni faccia, ma non ho saputo fare molto... come bisognerebbe procedere? Ho provato a vedere tutti i tipi di lacci possibili, ma mi sono impicciato....
Grazie
Risposte
Mi sembra (e sottolineo mi sembra) che tu debba usare in maniera opportuna il teorema di Seifert-Van Kampen per calcolare il gruppo fondamentale dello scheletro del cubo (quello formato solo dagli spigoli) che dovrebbe essere un spazio omotopicamente equivalente a $X$.
Secondo me, dovresti partire da un quadrato (solo i lati) e aggiungere il quadrato accanto. Ci calcoli il gruppo fondamentale (dovrebbe essere il gruppo libero generato da due elementi), poi aggiungi un altro quadrato e calcoli il gruppo fondamentale (sempre con Van Kampen). E così via, fino a completare lo scheletro del cubo.
La mia impressione è che alla fine esca il gruppo libero generato da 5 elementi. Nota che l'ultima faccia è gratis, una volta costruite le altre 5.
Scusami se non sono stato molto preciso. Il problema è che ho studiato queste cose da solo e non sono certo di ciò che dico.
Anzi se qualche altro utente mi conferma che non ho detto assurdità ne sarei ben lieto.
Fammi sapere se riesci a trarre qualche conclusione...
Secondo me, dovresti partire da un quadrato (solo i lati) e aggiungere il quadrato accanto. Ci calcoli il gruppo fondamentale (dovrebbe essere il gruppo libero generato da due elementi), poi aggiungi un altro quadrato e calcoli il gruppo fondamentale (sempre con Van Kampen). E così via, fino a completare lo scheletro del cubo.
La mia impressione è che alla fine esca il gruppo libero generato da 5 elementi. Nota che l'ultima faccia è gratis, una volta costruite le altre 5.
Scusami se non sono stato molto preciso. Il problema è che ho studiato queste cose da solo e non sono certo di ciò che dico.
Anzi se qualche altro utente mi conferma che non ho detto assurdità ne sarei ben lieto.
Fammi sapere se riesci a trarre qualche conclusione...
Secondo me la strada indicata da "cirasa" è corretta, la soluzione dovrebbe essere analoga a quella che si ha difronte ad un bouquet di circonferenze!
Oh, grazie "Alexp", non sai quanto mi rende felice questa tua conferma.
Non mi sembra, però che $X$ definito come ha fatto "gygabyte017" sia lo scheletro di un cubo....mi sbaglio?
No, come ha detto "gigabyte017", $X$ è la superficie esterna di un cubo che ha centro in $(0,0,0)$, lato $2$ e facce parallele ai piani cartesiani, da cui per bisogna escludere i centri delle sei facce.
E se non mi sbaglio, $X$ è omotopicamente equivalente allo scheletro del cubo. Per questo ho cercato di trovare il gruppo fondamentale dello scheletro. Ho commesso qualche errore?
E se non mi sbaglio, $X$ è omotopicamente equivalente allo scheletro del cubo. Per questo ho cercato di trovare il gruppo fondamentale dello scheletro. Ho commesso qualche errore?
Ahh ok, avevo letto male io!!!
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