[Esercizio] Gruppi lineari generali
Buongiorno a tutti,
mi trovo costretto a dovervi chiedere aiuto su un esercizio che sto svolgendo in quanto sono quasi 3 ore che ci ragiono ma non riesco proprio a saltarcene fuori...
Il testo recita così:
Nel gruppo \(\displaystyle GL(2,\mathbb{R} \) delle matrici quadrate invertibili di ordine 2 su \(\displaystyle \mathbb{R} \) si considerino le seguenti matrici
[tex]S = \begin{pmatrix} 0 & 1\\-1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 1 & 1\\0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
a) determinare l'ordine di \(\displaystyle S \)
b) determinare il sottogruppo \(\displaystyle H=\langle T \rangle \) generato da \(\displaystyle T \)
c) provare che \(\displaystyle H=\langle T \rangle \) è isomorfo al gruppo additivo degli interi \(\displaystyle (\mathbb{Z};+) \)
Per il punto a ho cominciato a ragionare sulla definizione di ordine andando a cercare quel numero \(\displaystyle n \) tale che \(\displaystyle S^n = I \) quindi ho calcolato \(\displaystyle S^2,S^3,S^4 \)....e così via. Ma sono arrivato fino a \(\displaystyle S^8 \) ed ho ottenuto le seguenti matrici
\(\displaystyle S^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0\\0&-1 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle S^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\1&0 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle S^4 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\0&1 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle S^5 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\-1&0 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle S^6 = \begin{pmatrix} 0&0\\0&-1 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle S^7 = \begin{pmatrix} 0&0\\1&0 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle S^8 = \begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix} \)
e ho notato che ogni 4 si ripetono, senza ottenere mai la matrice identità \(\displaystyle I \)...cosa posso dedurre da questo? Che è un gruppo ad ordine infinito?
Ho provato quindi ad andare oltre col punto b ma qui è stato peggio ancora, in quanto (secondo la mia logica) l'unico sottogruppo \(\displaystyle H \) generato da \(\displaystyle T \) è il sottogruppo che contiene esattamente \(\displaystyle T \) e la sua identità...è corretto?
Il punto c sinceramente non ho neanche idea da come si prenda
Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione e vi auguro una buona giornata!
mi trovo costretto a dovervi chiedere aiuto su un esercizio che sto svolgendo in quanto sono quasi 3 ore che ci ragiono ma non riesco proprio a saltarcene fuori...
Il testo recita così:
Nel gruppo \(\displaystyle GL(2,\mathbb{R} \) delle matrici quadrate invertibili di ordine 2 su \(\displaystyle \mathbb{R} \) si considerino le seguenti matrici
[tex]S = \begin{pmatrix} 0 & 1\\-1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 1 & 1\\0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
a) determinare l'ordine di \(\displaystyle S \)
b) determinare il sottogruppo \(\displaystyle H=\langle T \rangle \) generato da \(\displaystyle T \)
c) provare che \(\displaystyle H=\langle T \rangle \) è isomorfo al gruppo additivo degli interi \(\displaystyle (\mathbb{Z};+) \)
Per il punto a ho cominciato a ragionare sulla definizione di ordine andando a cercare quel numero \(\displaystyle n \) tale che \(\displaystyle S^n = I \) quindi ho calcolato \(\displaystyle S^2,S^3,S^4 \)....e così via. Ma sono arrivato fino a \(\displaystyle S^8 \) ed ho ottenuto le seguenti matrici
\(\displaystyle S^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0\\0&-1 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle S^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\1&0 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle S^4 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\0&1 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle S^5 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\-1&0 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle S^6 = \begin{pmatrix} 0&0\\0&-1 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle S^7 = \begin{pmatrix} 0&0\\1&0 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle S^8 = \begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix} \)
e ho notato che ogni 4 si ripetono, senza ottenere mai la matrice identità \(\displaystyle I \)...cosa posso dedurre da questo? Che è un gruppo ad ordine infinito?
Ho provato quindi ad andare oltre col punto b ma qui è stato peggio ancora, in quanto (secondo la mia logica) l'unico sottogruppo \(\displaystyle H \) generato da \(\displaystyle T \) è il sottogruppo che contiene esattamente \(\displaystyle T \) e la sua identità...è corretto?
Il punto c sinceramente non ho neanche idea da come si prenda
Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione e vi auguro una buona giornata!
Risposte
"Sergio":
[quote="FrancescoS8"]Per il punto a ho cominciato a ragionare sulla definizione di ordine andando a cercare quel numero \(\displaystyle n \) tale che \(\displaystyle S^n = I \) quindi ho calcolato \(\displaystyle S^2,S^3,S^4 \)....e così via. Ma sono arrivato fino a \(\displaystyle S^8 \) ed ho ottenuto le seguenti matrici
Direi che hai sbagliato i conti. Se \(S\) è quella che riporti, \(S^3=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) e \(S^4=I\).[/quote]
Mannaggia, hai ragione
grazie Sergio!Ok e questo è a posto allora, direi che ha ordine 4. Per il punto b il mio ragionamento è corretto secondo voi?
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