Esercizio geometrico
Torno a importunarvi perché temo di essermi bloccato su una stupidaggine ma non riesco a capire dove sbaglio grossolanamente.
In sostanza tra i vari quesiti di questo problema svolto vi è questo:
Nello spazio vettoriale $V_3$ , rispetto ad una base $B = {i; j; k}$ ortonormale
positiva, sono dati i vettori:
$a = (2; 1; 1)$; $b = (0; 1; 1)$:
Determinare tutti i vettori x di V3 tali che la loro proiezione ortogonale sul piano vettoriale
generato da a e da b sia il vettore a + b.
Io avevopensato di svolgerlo così:
(chiamo p la proiezione e x il vettore che voglio proiettare sul piano)
$p=a+b$ e usare per ricavare p la "formula" che discende dal prodotto vettoriale: $p=x-((x*(a∧b))/(||a∧b||^2))*(a∧b)$ e da questa ricavarmi poi x uguagliandola ad a+b.
Il fatto è che essendo un problema risolto guardavo la soluzione e scrive sinteticamente.. I vettori richiesti sono dati da:
$x = (a + b) + λa∧b$; con λ appartenente ai R.
Non riesco a capire il perché e non mi torna
In sostanza tra i vari quesiti di questo problema svolto vi è questo:
Nello spazio vettoriale $V_3$ , rispetto ad una base $B = {i; j; k}$ ortonormale
positiva, sono dati i vettori:
$a = (2; 1; 1)$; $b = (0; 1; 1)$:
Determinare tutti i vettori x di V3 tali che la loro proiezione ortogonale sul piano vettoriale
generato da a e da b sia il vettore a + b.
Io avevopensato di svolgerlo così:
(chiamo p la proiezione e x il vettore che voglio proiettare sul piano)
$p=a+b$ e usare per ricavare p la "formula" che discende dal prodotto vettoriale: $p=x-((x*(a∧b))/(||a∧b||^2))*(a∧b)$ e da questa ricavarmi poi x uguagliandola ad a+b.
Il fatto è che essendo un problema risolto guardavo la soluzione e scrive sinteticamente.. I vettori richiesti sono dati da:
$x = (a + b) + λa∧b$; con λ appartenente ai R.
Non riesco a capire il perché e non mi torna
Risposte
Considera il piano $pi$ e la giacitura $W_(pi)$ sai che per le proprietà del prodotto scalare $RR^3=W_(pi) oplus W_(pi)^(T)$
Con $T$ indico l’ortogonale, che non ricordo il nome del simbolo
Quindi un generico vettore di $RR^3$ si scrive come $v=w+w^T$ dove $w$ è un vettore del piano e $w^T$ uno del suo ortogonale.
Quindi ottieni $vec(v)=vec(w)+lambda(vec(a)wedgevec(b))$
Ora $v$ è il vettore che proiettiamo, $vec(a)wedgevec(b)$ è chiaramente il vettore ortogonale al piano e quindi chi sarà $vec(w)$? È esattamente la proiezione ortogonale del vettore $vec(v)$ sulla giacitura del piano. Vogliamo che $vec(w)$ sia un vettore ben preciso, quindi andando a sostituire $vec(w)=vec(a)+vec(b)$ otteniamo
$vec(v)=vec(a)+vec(b)+lambda(vec(a)wedgevec(b))$
Andando alla tua formula: perché hai pensato di usare questa?
Con $T$ indico l’ortogonale, che non ricordo il nome del simbolo
Quindi un generico vettore di $RR^3$ si scrive come $v=w+w^T$ dove $w$ è un vettore del piano e $w^T$ uno del suo ortogonale.
Quindi ottieni $vec(v)=vec(w)+lambda(vec(a)wedgevec(b))$
Ora $v$ è il vettore che proiettiamo, $vec(a)wedgevec(b)$ è chiaramente il vettore ortogonale al piano e quindi chi sarà $vec(w)$? È esattamente la proiezione ortogonale del vettore $vec(v)$ sulla giacitura del piano. Vogliamo che $vec(w)$ sia un vettore ben preciso, quindi andando a sostituire $vec(w)=vec(a)+vec(b)$ otteniamo
$vec(v)=vec(a)+vec(b)+lambda(vec(a)wedgevec(b))$
Andando alla tua formula: perché hai pensato di usare questa?
Ti ringrazio per la risposta, allora in realtà non housato quanto dici perché nel mio programma la somma diretta l'han presentata solo questa settimana mentre questo esercizio era di due tutorati fa che saltai in quanto malato XD
In teoria non avevo ancora gli strumenti concettuali per fare ciò.
Ho pensato a quela formula perché è quella che con prodotto scalare e vettoriale ti permette di proiettare un vettore x sul piano generato da u,v.
In realtàchiamando stamane un amico del corso mi ha detto che il tutor ha proprio messo come $λ=(x*(a∧b))/(||a∧b||^2)$ e in effetti ci stà perché è uno scalare. Un po' forzato ma può funzionare.
Non condividi molto tale idea?
In teoria non avevo ancora gli strumenti concettuali per fare ciò.
Ho pensato a quela formula perché è quella che con prodotto scalare e vettoriale ti permette di proiettare un vettore x sul piano generato da u,v.
In realtàchiamando stamane un amico del corso mi ha detto che il tutor ha proprio messo come $λ=(x*(a∧b))/(||a∧b||^2)$ e in effetti ci stà perché è uno scalare. Un po' forzato ma può funzionare.
Non condividi molto tale idea?
Non sono nessuno per non condividere l’idea
Volevo capire il ragionamento, ho provato a tradurlo così:
In generale si che dati i due vettori $vec(v),vec(w)$ allora posto $k=(vec(v)*vec(w))/(w*w)$ si ha che $(vec(v)-kvec(w))*vec(w)=0$
Prendo $vec(c)=vec(a)wedgevec(b)$
Allora considero un vettore generico $vec(v)=(x,y,z)$
Quindi $(vec(v)-kvec(c))*vec(c)=0$ con $k=(vec(v)*(vec(a)wedgevec(b)))/(||vec(a)wedgevec(b)||^2)=(vec(v)*vec(c))/(||vec(c)||^2)$
Pertanto il vettore $vec(v)=(vec(v)-kvec(c))+kvec(c)$ è scritto come somma di due vettori tra loro ortogonali di cui uno dei due è un vettore ortogonale al piano. Quindi quello che hai richiesto è che $vec(v)-kvec(c)=vec(a)+vec(b)$
Ovvero $vec(v)=vec(a)+vec(b)+(vec(v)*(vec(a)wedgevec(b)))/(||vec(a)wedgevec(b)||^2)*(vec(a)wedgevec(b))$
Ora notiamo subito che la differenza sta solo nello scalare che moltiplica il vettore ortogonale al piano.
Ma le relazioni sono esattamente uguali! Per il semplice fatto che posto $k(vec(v))=(vec(v)*(vec(a)wedgevec(b)))/(||vec(a)wedgevec(b)||^2)$ definisce una funzione $k:RR^3->RR$ (forse pure invertibile ma non vorrei dire boiate) ma l’importante è che sia suriettiva.
Volevo capire il ragionamento, ho provato a tradurlo così:
In generale si che dati i due vettori $vec(v),vec(w)$ allora posto $k=(vec(v)*vec(w))/(w*w)$ si ha che $(vec(v)-kvec(w))*vec(w)=0$
Prendo $vec(c)=vec(a)wedgevec(b)$
Allora considero un vettore generico $vec(v)=(x,y,z)$
Quindi $(vec(v)-kvec(c))*vec(c)=0$ con $k=(vec(v)*(vec(a)wedgevec(b)))/(||vec(a)wedgevec(b)||^2)=(vec(v)*vec(c))/(||vec(c)||^2)$
Pertanto il vettore $vec(v)=(vec(v)-kvec(c))+kvec(c)$ è scritto come somma di due vettori tra loro ortogonali di cui uno dei due è un vettore ortogonale al piano. Quindi quello che hai richiesto è che $vec(v)-kvec(c)=vec(a)+vec(b)$
Ovvero $vec(v)=vec(a)+vec(b)+(vec(v)*(vec(a)wedgevec(b)))/(||vec(a)wedgevec(b)||^2)*(vec(a)wedgevec(b))$
Ora notiamo subito che la differenza sta solo nello scalare che moltiplica il vettore ortogonale al piano.
Ma le relazioni sono esattamente uguali! Per il semplice fatto che posto $k(vec(v))=(vec(v)*(vec(a)wedgevec(b)))/(||vec(a)wedgevec(b)||^2)$ definisce una funzione $k:RR^3->RR$ (forse pure invertibile ma non vorrei dire boiate) ma l’importante è che sia suriettiva.
L'avevo vista in modo geometricamente leggermente diverso ma torna anche così, esatto.
Grazie dell'idea
Grazie dell'idea
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo