Esercizio Geometria Riemanniana

[Alexp1]

Ciao a tutti,
vi posto un esercizietto....vediamo chi ha voglia di risolverlo! ...se non dovesse intervenire nessuno posterò io la soluzione!

Si mostri che la connessione sullo spazio Euclideo è la sola connessione affine tale che $\nablaX=0$ per tutti i campi vettoriali costanti $X$.

[Alexp1]

Che tristezza...nessuno ha risposto!

Metto la soluzione sotto spoiler, così se a qualcuno interessa può provare ancora a risolverlo!

Se $\nablaX=0$, $AAX=a^i\partial_i$, con $a^i$ costante,
allora poi $AAj$
$0=\nabla_(\partial_j)X=\nabla_(\partial_j)(a^i\partial_i)$
$=(\partial_ja^i)\partial_i+a^i\nabla_(\partial_j)\partial_i$
$=a^i\Gamma_(ji)^k\partial_k$

Ne segue che $\Gamma_(ij)^k=0$, $AA$$i$, $j$, $k$,
la connessione è piatta!